- •1. Определение и вывод уравнения эллипса.
- •9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
- •10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
- •12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.
- •13. Цилиндрические поверхности
- •14. Конические поверхности второго порядка.
- •15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.
- •21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
- •26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
- •27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
- •28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах
- •29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств
- •Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов
- •Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
- •32. Свойства линейных отображений
- •33. Линейный оператор, его матрица.
- •Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора
- •Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса
- •36.Ядро и образ линейного отображения.
- •37. Ранг и дефект лин оператора
- •38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами
- •39. Подобие матриц. Опред лин опер
- •40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век
- •41.Инвариантные подпространства.
- •42.Диагонализируемость линейного пространства.
- •43.Опред и примеры евклидовых пространств.
- •44.Неравенство Коши-Буняковского
- •45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
- •46.Ортонормированный базис.
- •47.Изоморфизм евклид прост.
- •48.Сопряжонный лин оператор
- •49.Ортогональны лин опер
- •50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
- •51. Критерий самосопряженности линейного оператора
- •52.Ортогональное дополнение
- •53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных
- •54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.
- •55. Индекс и закон инерций квадратичных форм
- •56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.
- •57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.
- •58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.
- •59.Знакоопределённые квадратичные формы.
- •60.Критерий Сильвестра
48.Сопряжонный лин оператор
Определение. Пусть f - линейный оператор евклидова пространства V. Линейный оператор f* наз. сопряженным к f, если для 2-х векторов выполняется равенство (f(x),y)=(x,f*(y)).
Теорема. Для лин. оператора f конечномерного евкл. пр-ва V сущ ! лин. оператор f*. При этом матрица оператора f* в ортонормированном базисе будет транспонированной по отношению к матрице оператора f в этом базисе (доказательство на самостоятельное изучение).
Пример. 1) Е- тожд-ый оператор евкл. пространства V, то Е* =Е т.к.
(Е (x),y)=(x, Е*(y))..
2) пусть f - оператор поворота евклидовой плоскости на угол. В ортонормированном базисе оператор f имеет матрицу , т.е. Сопряжённая матрица: , f*- оператор поворота плоскости на угол.
49.Ортогональны лин опер
Определение. Линейный оператор f евклидова пространства V называется ортогональным, если он не изменяет скалярного произведения векторов, т.е. (f(x),f(y)=(x,y)., для .
Теорема. (Первый критерий ортогональности линейного оператора).
Линейный оператор f евклидова пространства V ортогонален он сохраняет длины векторов, т.е. ||f(x)||=||x||.
Доказательство. Пусть f - ортогональный оператор пространства V, тогда для (x,x)=(f(x),f(x)); из неотриц. ||x||=||f(x)||. Обратно, пусть f - линейный оператор, сохраняющий длины векторов, т.е. |||f(x)||=||x||. для . Тогда для верно, что (x+y,x+y)=(f(x,y),f(x,y)) по свойствам скалярного произведения: аналогично . Т.к. по предположению f сохраняет длины векторов, то получаем (x,y)=(f(x),f(y)). ч.т.д.
Пример. 1) тожд-ый оператор евклидова пространства ортогонален;
2) оператор поворота евклидовых плоскостей на угол ортогонален, т.к. сохраняет длины векторов.
Теорема. (Второй критерий ортогональности линейного оператора).
Для того, чтобы линейный оператор f конечномерного евклидова пространства V был ортогонален оператор f переводим ортонормированный базис.
Доказательство. Осуществляется проверкой.
Определение. Действительная матрица А называется ортогональной, если .
Теорема. (Третий критерий ортогональности линейного оператора).
Линейный оператор f конечномерного евклидова пространства V ортогонален ортогональна матрица оператора f в некотором ортонормированном базисе. (Без доказательства).
50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
Определение. Линейный оператор f евклидова пространства V называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным оператором ,
т.е. (f(x),y)=(x,f(y)) .
Пример. 1) тожд. оператор является самосопряженным;
2) оператор гомотетии евклидова пространства V является самосопряженным для . Действительно, для .
Определение. Квадратная матрица A= называется симметрической, если .
Очевидно, матрица А является симметрической A=A.
Теорема. Линейный оператор f евклидова пространства V является самосопряженным матрица его в ортонормированном базисе пространства V является симметрической.
Доказательство. 1) необходимость. Пусть f - самосопряженный оператор пространства V и пусть А – его матрица в некотором ортонормированном базисе. По свойству сопряженных векторов, оператор f* имеет матрицу AТ. Т.к. f=f* и матрица определяет оператор, то AТ=A, т.е. А – симметрическая матрица.
2) дост-ть. В обратном порядке.
На важную роль ортогональных и самосопряженных операторов в общей теории линейных операторов евклидовых пространств указывает след.
Теорема. Любой линейный оператор f конечномерного евклидова пространства V можно представить в виде f=hg, где h – ортогональный оператор, g – самосопряженный оператор пространства V . (без доказательства).
Такое представление оператора f называется полярным разложением.
Следствие. действительную квадратную матрицу можно представить в виде произведения ортогональной и симметрической матриц.