- •1. Определение и вывод уравнения эллипса.
- •9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
- •10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
- •12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.
- •13. Цилиндрические поверхности
- •14. Конические поверхности второго порядка.
- •15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.
- •21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
- •26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
- •27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
- •28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах
- •29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств
- •Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов
- •Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
- •32. Свойства линейных отображений
- •33. Линейный оператор, его матрица.
- •Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора
- •Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса
- •36.Ядро и образ линейного отображения.
- •37. Ранг и дефект лин оператора
- •38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами
- •39. Подобие матриц. Опред лин опер
- •40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век
- •41.Инвариантные подпространства.
- •42.Диагонализируемость линейного пространства.
- •43.Опред и примеры евклидовых пространств.
- •44.Неравенство Коши-Буняковского
- •45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
- •46.Ортонормированный базис.
- •47.Изоморфизм евклид прост.
- •48.Сопряжонный лин оператор
- •49.Ортогональны лин опер
- •50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
- •51. Критерий самосопряженности линейного оператора
- •52.Ортогональное дополнение
- •53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных
- •54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.
- •55. Индекс и закон инерций квадратичных форм
- •56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.
- •57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.
- •58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.
- •59.Знакоопределённые квадратичные формы.
- •60.Критерий Сильвестра
25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
Опр-е: пусть V- вект пр-ва¥ над полем P. C-ма в-ров е1,e2,…,en (*1) назыв-ся базисом пр-ва V, если:
-
с-ма в-ров (1) лин-но независима;
-
в-р пр-ва V линейно выр-ся через в-ра с-мы (1);
Пример
-
В пр-ве Rn
e1(1,0,0,…,0), e2(0,1,0,…,0), en(0,0,0,…,1) явл базисом, т.к.
-
Лин-но незав-ма
-
¥ x€Rn, x=(x1,x2,…,xn)=x1e1+x2e2+…+xnen
2.. Rn[x]; 1,x,x2,…,xn
m(x) € Rn[x], то
m[x]=a01+a1x+a2x2+…+anxn – разл-е по векторам выбр с-мы – базис
3.. пр-во V3, любые 3 некомпл. В-ра образ-т базис данного пр-ва
Т-ма: В вект пр-ве все базисы сосотоят из одного и того же числа в-ров
Опр-е: Вект пр-во назыв-ся n-мерным, если в нем есть базис, состоящий из n в-ров.
Число “n” называется размерностью пр-ва, нулевое пр-во называется нульмерным. Если пр-во V содерж. Любое число лин-но независ в-ров, то оно назыв бесконечно-мерным. Обозначается разм-ть dim V=n, Vn, dim V=∞
Пример
dim V3=3, dim Rn=n, dim Rn[x]=n+1, dim R[x]= ∞, dim C[a,b]= ∞
Т-ма: В n-мерном вект пр=ве:
-
Каждую лин-но незав-ю с-му в-ров можно дополнить до базиса
-
Любая лин-но незав-я с-ма из n в-ров явл-ся базисом
Сл-вие: В n-мерном вект пр-ве любая с-ма из n+1 в-ра будет лин-но зависимой.
26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
След т-ма показ-т, что при фикс размере поля Р и разм-ти n сущ-ет единств с точн-ю до изоморфизма пр-во над полем Р
Т-ма: 2 лин пр-ва V и V' над одним полем изоморфны титтк имеют одинак-ю разм-ть
Пусть Vn- пр-во над полем Р, е1,e2,…,en – базис, тогда x€ Vn
X= 1e1+2e2+…+nen где i€P, i=1…n;
Такое представление в-ра x наз-ся разложением по в-рам базиса е1,e2,…,en , коэфф-ты 1,2,…, n – назыв-ся коорд-ми в-ра x в этом пр-ве
Т-ма: Коорд-ты в-ра в заданном базисе опред-ют однозначно.
Док-во от противного
Допустим, 1e1+2e2+…+nen (*) = β1e1+β2e2+…+βnen (**), где i βi€ P,i ≠βi
(*) – (**) = (1 – β1)e1 + (2 – β2 )e2 +…+(n – βn)en = θ, i – βi =0, i = βi , i=1…n.
Противоречие. ЧИТД
Зам 1: посл-ть в-ров в базисе предполагается заданной, т.е.
е1,e2,…,en и е2,e1,…,en – различны.
Зам 2: разложение в-ров удобно записывать в матричном виде (x)=(1,2,…, n),
[e]= x = 1e1+2e2+…+nen= (x)[e] – коорд строка и базисный столбец
Т-ма:
-
При сложении в-ров в одном базисе соотв корд-ты складываются
-
При умножении в-ра на скаляр, все корд-ты умножаются на этот скаляр
т.е. 1. (х+у) = (х)+(у);
2. (x) = (x); x,y € V, € P
27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
Т-ма:В n-ом вект простр-ве:1.Каждую лин-но незав-ю с-му в-ров можно дополнить до базиса;2.Любая лин-но незав с-ма из n в-ров —базис.
Следствие:В n-ом векторном пространстве любая система из n+1 вектора линейнозависима.
Теорема:Два линейных пространства V и V’, над одним полем изоморфны т.и т.т., когда имеют одинаковую размерность.
Пусть —линейное пространство над полем P, размерности n — ,,..., — базис.Все x, принадлежащих , можно представить : x=++...+, где принадлежащих Р, i=1...n.Такое представление x называется разложением по векторам базиса ,,...,. , — координаты вектора x в данном базисе.
Теорема:Координаты вектора в заданном базисе определён однозначно.
Док-во: От противного.x=++...+(*)=++...+(**), где принадлежат Р, i=1...n,. (*)-(**)=++…+=θ, следовательно =0, т.е. для i=1...n.
Замечание 1:Последовательность векторов в базисе предполагается заданной ,,..., и ,,..., — разные.
Замечанние 2:Умножение вектора по векторам базиса удобно записывается по векторам базиса. (x)=(, ).[e]=(). X=++...+=(x)[e].
Теорема:1.При сложении векторов в одном базисе, складываются соответствующие координаты. 2. При умножении вектора на скаляр, все его координаты умножаются на этот скаляр((αx)=,для всех x принадлежащих V, α принадлежащих Р).
Определение:Пусть даны 2-а базиса:,,..., и ,, — два базиса над полем V. ,,, по векторам ,,..., : =++...+, =++...+=++...+Составим матрицу:А=. Матрица А называется матрицей перехода от базиса,,..., к базису ,, :[]=A[e].
Теорема: Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому невырождена.
Док-во:Дано [] =A[e], тогда существует В: [e] =В[].Существует [] =AВ[], следовательно Е=АВ: В=едовательно ӏАӏ*ӏВӏ=ӏЕӏ=1.
Вектор в разных базисах имеет разные координаты.Связь между координатами вектора в разных базисах:Теорема:Пусть (х)—координатная строка вектора х в базисе(,,...,), а ()— в (,,.Если А — матрица перехода от базиса (,,...,) к(,,, то (х)= ()А, а ()= (х). «Старая» координатная строка = «новой» умноженой на матрицу перехода от старой матрицы к новой и «новая»= «старая» умноженая на матрицу перехода от новой.