21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).

Поверхность 2-го порядка наз линейчатой, если: через каждую её точку проходит прямая целик.принадл. данной поверхности это прямая называется прямолин. образующей. Из опр. Цилиндра и конуса вытекает: 1) конусом наз лин поверхность, все прям. обр. которой проходят через точку наз верш конуса; 2) цилиндром наз лин поверхн все образующие которой параллельны друг другу. Покажем что лин пов явл одн. гиперб. Пусть задано коническое уравнение одноп.гиперб: х^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 (1); х^2/a^2-z^2/c^2=1- y^2/b^2; (x/a-z/c)*(x/a+z/c)=(1-y/b)*(1+y/b) (2); сист ур: x/a+z/c=u(1+y/b); x/a-z/c=(1/u)(1-y/b) при u!=0 (3); т.М(x,y,z) –произв.т.этой прямой. Коорд т.М удовл. ур(3) => ур(2) и => ур(1) то же, т.е. т.М лежит на одноп.гиперб. В силу произв.выбора т.М вся прямая сод М с одн.гип., т.е. прямая (3) образ. одн.гип. Придавая парам. и различные знач получим семейство прямол.образ. Еще одно сем.обр прям.гип: сист.ур. x/a+y/c=v(1-y/b); x/a-z/c=(1/v)*(1+y/b); при v!=0; (4); Теор. «О cв-ве прям.обр одн.гип.»: прям.обр одн.гип. принадлежащие одному семейству - не пересек, разным – пересекаются. Д-во: 1) возьмем две обр. одного семейства: сист.ур. x/a+z/c=u’(1+y/b); x/a-z/c=(1/u’)(1-y/b); u’!=0 (3’); Допустим что u!=u’, вычтем из 1-го ур(3) - 1-ур(3’) и из 2-го ур(3) – 2 ур(3’): сист.ур. 0=(u-u’)(1+y/b); 0=(1/u-1/u’)(1-y/b); т.е. (b+y)/b=0; (b-y)/b=0 против. ч.т.д.; 2) возьмем две обр. ур(3) и ур(4) из разных семейств u!=v и вычтем из 1 ур(3) - 1 ур(4): u(1+y/b)-v(1-y/b)=0; u+y*u/b-v+vy/c=0; y(u/b+v/b)=v-u; y=((v-u)b/)(u+v) => прямые пересекаются ч.т.д.

22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).

Поверхность 2-го порядка наз линейчатой, если: через каждую её точку проходит прямая целик.принадл. данной поверхности это прямая называется прямолин.образующей. Из опр. Цилиндра и конуса вытекает: 1) конусом наз лин поверхность, все прям. Обр. которой проходят через точку наз верш конуса; 2) цилиндром наз лин поверхн все образующие которой параллельны друг другу. Покажем что лин пов явл гиперб.параб. Прямол. образ. гип.пар. x^2/p-y^2/q=2z (1); т.к. p>0, q>0, то (x/sqrt(p)-y/sqrt(q))(x/sqrt(p)+y/sqrt(q))=2z; сист ур. x/sqrt(p)+y/sqrt(q)=2u; x/sqrt(p)-y/sqrt(q)=z/u; при u!=0 (2); Если т.М(x,y,z) произв. т.ур(2) то она принадл.(1). Прямая (2) есть прямол обр гип парабал. Придавая u различные значения получим множ гип.обр. Еще одно семейство гип обр: сист.ур. x/sqrt(p)+y/sqrt(q)=z/v; x/sqrt(p)-y/sqrt(q)=2v; v!=0; (3); Теорема «О прям обр г.п.»: две обр из одного семейства - не перес., а из разных пересек. Док-во: 1) возьмем две прямые из одного семейства. Cист.ур. x/sqrt(p)+y/sqrt(q)=2u’; x/sqrt(p)-y/sqrt(z)=z/u’; (2’); Вычтем ур.(2) – ур(2’); 0=2*(u-u’); u!=u’; против. ч.т.д. 2)из разных семейств 2u-z/v=0; сист.ур. z=2uv; x=sqrt(p)*(u+v); y=sqrt(q)(u+v); ч.т.д.

23. Определение линейного пространства, следствие из определения. Примеры. Линейным (вект. простр.) назыв. непустое множество V удовлетв => условия: 1) \-/ (х,у) из мн.V соответствует ! элемент (х+у)€V; 1.1. (x+y)+z=x+(y+z) \-/ x,y,z€V – ассоциативность. 1.2. сущ. Ө€V: х+Ө=Ө+x=x, \-/ x€V; 1.3. \-/ x€V сущ y€V: x+y=y+x=Ө; 1.3. x+y=y+x, \-/ x,y€V – коммутативность; 2) \-/ (αх) α€P x€V сущ αx€V; 2.1. (αβ)x=α(βx) \-/ α,β€P x,y€V; 2.2. 1*x=x, 1€P; 2.3. α(x+y)= αx+αy, \-/ α€P, x,y€V; 2.4.( α+β)x=αx+βx, \-/ α,β€P, \-/ x€V; Если множ В явл лин простр над полем Р то его элем наз векторами, а эл.поля Р –скалярами. Если V->R: 1) V^3 – множ всех геом вект трехмерного пространства, это множ явл вектр простр с опер сложения вект и умн вект на действит числа. 2) V^2 – двумерное пространство с теме же операчиями что и V^3; 3) {Ө } – одноэлем множ является вект простр над любым полем Ө+Ө=Ө; α*Ө=Ө; 4) Р – некоторое поле P^n={(α1,α2,…,αn)/αn€P; (α1,α2,…,αn)+ (β1, β2,…, βn)=(α1+ β1, α2+ β2,…, αn+ βn); α(α1,α2,…,αn)= (αα1,αα2,…, ααn) множ R^n с этими опер наз векторным пространством n-мерных строк, R^n – арифмет. простр. 5) M(n,P) – множ квадр матриц порядка n из поля P с опер слож матриц и умножения на число явл вект пространством. 6) С[a,b] множ непрерывных (f+g)(x)=f(x)+g(x); (αf)(x)=αf(x); 7) P[x] – множ многочленов от переменной х из поля Р. 8) P^n[x] множ многочленов от переменной х не выше n с коэффициентом из поля Р. Элементарные св-ва линейных пространств. Лемма: пусть V вект простр над полем Р то: 1) сущ ! нейт. Ө€V; 2) \-/ x€V сущ ! x€V; 3) 0*x=Ө, где 0€Р Ө€Р; 4) (-1)х=-х \-/ х€V; 5) αӨ=Ө \-/ α€Р; Док-во: 1) Ө1 и Ө2 : Ө1+Ө2=Ө1; Ө1+Ө2=Ө2; => Ө1=Ө2; 2) аналог.(1); 3)у=-х : 0*х=0*х+(х+у)=(0*х+1*х)+у=(0+1)х+у=1*х+у=х+у=Ө; 4) аналог(3); 5) х€V αӨ=α(х+(-х))=αх+α(-х)=αх+α(-1)х=αх+(-α)х=(α+(-α))х=(α-α)х=0*х=Ө;

24. Линейная зависимость и независимость векторов. Изоморфизм линейных пространств. Пусть V лин простр над Р. Системой векторов называется а1,а2,…,аn€V (*), любая подпосл этой системы называется подсистемой векторов α1,α2,…,αn€P; α1а1+α2а2+…+αnan€V называется лин комбинацией вект сист(*); х=α1*а1+α2*а2+…+αn*an – говорят, что вектор х лин выраж через вект сист(1). Система векторов (*) наз лин зависимой, если сущ скаляры α1,α2,…,αn не все =0, такие что α1а1+α2а2+…+αnan=Ө (**). Сист(**) наз лин незав, если (**) справедливо при α1=α2=…=αn=0; Лемма1: 1)если какая-та подсистема векторов лин.зав. то и вся сист лин.зав. 2)если сист.вект. лин независима,то и всякая подсистема лин.незав. Теорема: при n>1 сист.вект. (*) лин.зав.,  хотя бы один из векторов лин.выраж. через остальные. Теорема: а1,а2,…,ак,а(к+1) лин незав., то а(к+1) явл лин комбинацией векторов а1,а2,…,ак. Опред: два лин.простр. V и V’ над одним полем Р наз изоморфными если сущ коллект. отображ. f: V->V’ : 1) f*(x+y)=f(x)+f(y); 2) f(αx)=α*f(x); f-изоморфизм и обозначается V≡V’. Теорема: отношение изоморфизма линейных пространст есть отношение эквивалентн на мнод лин простр над одним и тем же полем. Теорема: пусть отобр. f: V->V’ есть изоморфизм то: 1) Ө€V,то f(Ө)€V’; 2) α1,α2,…,αn€V лин незав. то f(а1), f(a2),…,f(an)€V’ будет лин незав.