13. Система уравнений Максвелла.

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея в форме:

.

Согласно Максвеллу этот закон справедлив не только для проводящего контура, но и для любого замкнутого контура, мысленно выбранного в переменном магнитном поле. Иными словами, с переменным магнитным полем независимо от того, находятся в нём проводники или нет, неразрывно связано вихревое электрическое поле.

Переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля служит ток смещения. Плотностью тока смещения называется вектор, равный:

.

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру L равна алгебраической сумме макротоков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур (рис.2.21)

,

где j _пр- плотность тока проводимости; j _см- плотность тока смещения.

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме:

,

где _своб - объемная плотность свободных электрических зарядов

Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме:

.

Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить так называемыми материальными уравнениями, характеризующими электрические и магнитные свойства среды.

В случае изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред и макротоков, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения имеют вид:

.

Здесь _ и _ – электрическая и магнитная постоянные,  и  – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды,  – удельная электрическая проводимость среды.

14. Примеры решения задач.

1. Квадратная рамка со стороной а = 2 см, содержащая 100 витков, подвешена на упругой нити с постоянной кручения С = 10 мкНм/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I = 1А, она повернулась на угол  = 60^о.

РЕШЕНИЕ

Рамка будет находиться в равновесии, когда результирующий момент сил, действующий на рамку, равен нулю, т.е.  М = М ₁ + М ₂ = 0, где М ₁ – момент сил, действующих на рамку с током со стороны магнитного поля, М ₂ – момент упругих сил.

М₁ = ð _m B sin ,

где ð _m = N I S = N I a^магнитный момент рамки, В – индукция магнитного поля,  – угол между вектором В и нормалью к плоскости рамки. Как видно из рисунка угол  = 90– = 30.

М₂ = С.

Из условия равновесия

Ia²NB sin  - Ñ = 0,

откуда:

B = Ñ / (Ia²NB sin ).

Подставим числовые значения:

В = 10 ^-360 / 14100 0.5 = 30 мТл.

2. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом R = 80 см. Определить силу тока в проводнике, если известно, что в точке А магнитная индукция B = 12,5 мкТл.

РЕШЕНИЕ

По принципу суперпозиции индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме индукций магнитных полей, созданных бесконечно длинным проводником с током I (В ₁) и круговым током в его центре (В ₂).

В _А = В ₁ + В ₂ .

Векторы В₁ и В ₂ на рисунке в точке А будут направлены в одну сторону перпендикулярно плоскости рисунка от нас, тогда можно записать

,

откуда:

.

Подставим числовые значения:

А.

3. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I₀ = 5 А. Сторона рамки а = 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти поток вектора В через поверхность рамки.

РЕШЕНИЕ

Прямой проводник с током создает вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией

В = ₀I₀ / 2r .

величина которой уменьшается с увеличением расстояния от проводника. В плоскости рамки вектор индукции будет совпадать с направлением нормали к рамке. Так как магнитное поле неоднородное, поверхность, ограниченную рамкой, разобьём на элементарные площадки dS = a dr, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной величиной (cм. рис.). Тогда поток магнитной индукции (магнитный поток) через элементарную площадку равен:

dФ _m = B dS cos 0 = B а dr =  ₀I ₀a dr / (2r).

Полный поток вектора В через поверхность рамки:

.

Подставим числовые значения:

Ф_В = 4*10^–7*5*0,08*(ln 2) / 2 = 5,545*10^–8 (Вб).

4. Между полюсами электромагнита требуется создать магнитное поле с индукцией В = 1,4 Тл. Длина железного сердечника l₁ = 40 см, длина межполюсного пространства l₂ = 1 см, диаметр сердечника D = 5 см. Какую ЭДС  нужно взять для питания обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя медную проволоку площадью поперечного сечения S = 1 мм ² ? Какая будет при этом наименьшая толщина b намотки, если считать, что предельно допустимая плотность тока j = 3 МА/м ² ?

РЕШЕНИЕ

Так как силовые линии магнитного поля замкнуты, то магнитный поток и индукция магнитного поля в сердечнике и в воздушном зазоре одинаковы: В₁ = В₂. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора Н (т.к. циркуляция Н определяется только макротоками и не зависит от наличия или отсутствия магнетика). Выберем замкнутый контур вдоль силовой линии и вычислим циркуляцию вектора напряжённости:

,

где Н₁ и Н₂ – напряжённости магнитного поля в сердечнике и вне его, l₁ и l₂ – длина железного сердечника и межполюсного пространства.

Так как H₂ = B₂/₀ = B₁/₀, то

H₁l₁ + B₁l₂/₀ = NI . (1)

Поскольку величина В₁ известна по условию задачи, то величину Н₁ найдём из графика зависимости В = Â(H) (Прил. 1):

при В = 1,4 Тл, Н = 800 А/м .

Из уравнения (1) определим число ампер–витков электромагнита:

(NI) = 800*0,4 + 1,4 *0,01/(4*3,14*10^–7) = 1,14*10⁴ А -вит .

Величину ЭДС  вычислим по закону Ома:

 = IR_пров = Il _пров/S = IDN / S = IDN / S.

Подставим числовые значения:

 = 1,7*10^–8*3,14*0,05*1,14*10⁴/10^–6 = 31 В.

Для определения толщины обмотки нужно знать общее число витков N и число витков N₁ в одном слое обмотки.

N₁ = l ₁ / d,

где l₁ – длина сердечника, d – диаметр провода обмотки (d = ), тогда

N ₁ = l ₁ / = 0.4 / = 354 витка .

Зная число ампер–витков и предельно допустимое значение силы тока (I = jS), определим общее число витков N:

N = (NI) / (jS) = 1,14*10 ⁴ / (3*10⁶*10^–6) = 3800 витков.

Число слоёв:

k = N / N₁ = 3800/354  11.

Тогда толщина обмотки

b = dk = k = 11 = 12.410 ^-3 м  12 мм.

5. Квадратная рамка с током I = 1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течёт ток I₀ = 5 А. Сторона рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти:

1. силу, действующую на рамку;

2. работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180, если токи поддерживают неизменными.

РЕШЕНИЕ

1) Прямой длинный проводник с током I₀ создаёт вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией B₀=₀I_o/2r, которая уменьшается с увеличением расстояния от проводника. В таком магнитном поле на каждую сторону квадратной рамки с током будет действовать сила Ампера, направление которой можно определить по правилу левой руки, а величину по формуле F_A=IB₀lsin .

Как видно из рисунка ( при указанных направлениях силы тока в проводниках), l=a, =90 (sin  = 1), силы F ₂ и F ₄ противоположны по направлению и равны по величине:

.

Следовательно, результирующая этих двух сил равна нулю. Силы F ₁ и F ₃ противоположны по направлению, но не равны по величине:

F₁ = I₀I₀a / (2a) = ₀I₀I / (2).

F₃ = I₀Ia / (22a) = ₀I₀I / (4).

Так как сила F₁ в два раза больше силы F₃, то результирующая этих сил будет совпадать по направлению с силой F₁, а по величине равна:

F = F₁ – F₃ = ₀I₀I / (2) – ₀I₀I / (4) = ₀I₀I / (4).

Подставим числовые значения

F = 4*10^–7*1*5 / (4) = 5*10^–7 Н = 0,5 мкН.

2) Работу, необходимую для поворота рамки с током I на 180 можно определить по формуле:

А = IФ = I(Ф₂ – Ф₁),

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки, пронизывающие рамку в начальном и конечном состояниях. Так как магнитное поле проводника с током I₀ неоднородное, сначала определим магнитный поток через элементарную площадку dS = a dr, в пределах которой индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной

dФ = B₀dS cos ,

а полный магнитный поток сквозь рамку в начальном и конечном состояниях будет равен

.

.

Так как ₁ = 0, ₂ = 180, (cos ₁ = 1, cos ₂ = –1), то:

Ф = Ф₂ – Ф₁ = – ₀aI₀ (ln 2) / (2) – ₀aI₀ (ln 2) / (2) = –₀aI₀ (ln 2) / ,

и работа будет равна:

А = IФ = –₀aI₀I (ln 2) /  .

Подставим числовые значения:

А = –4*0,1*1*5*0,69*10^–7/  –1,4*10^–7 Дж = –0,14 мкДж .

6. Тонкий металлический стержень длиной l = 1,2 м вращается в однородном магнитном поле вокруг перпендикулярной к стержню оси, отстоящей от одного из его концов на расстоянии а = 0,25 м, делая n = 120 об/мин. Вектор магнитной индукции поля параллелен оси вращения и имеет величину В = 10^–3 Тл. Найти разность потенциалов U , возникающую между концами стержня.

РЕШЕНИЕ

Разность потенциалов между концами стержня будет равна по величине ЭДС индукции, возникающей в стержне за счёт вращения

U =  _i = –dФ/dt. (1)

Для однородного магнитного поля и плоской поверхности Ф = BS cos , или подставив в (1) получаем (знак минус опустим, так как необходимо найти только величину Э.Д.С.):

U = d(BS cos )/dt . (2)

В данном случае В и cos  не зависят от времени. Кроме того, по условию задачи cos  = 1, поэтому из выражения (2) следует

U = B dS/dt = B d[(l + a)² – a²]/2dt . (3)

d = dt = (2n)dt . (4)

Подставляя (4) в (3) получим:

B*2n(l² + 2la) /2 .

U = 10^–3*2*2 (1,2² + 2*1,2*0,25)/2 = 0,0128 В = 12,8 мВ.

7. Прямой проводник длиной l = 10 см помещён в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление внешней цепи R = 0,4 Ом. Какая мощность потребуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям индукции с постоянной скоростью v = 20 м/с?

РЕШЕНИЕ

Проведём анализ условия задачи. При движении проводник будет пересекать линии индукции. За счёт этого в проводнике возникнет ЭДС индукции

 = – dФ/dt, (1)

где в данном случае

dФ = BdS = Blvdt . (2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

 = – Blv .

Сила индукционного тока в цепи согласно закону Ома

I =  / R = – (Blv)/ R..

Тепловая мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении

P_тепл = I²R = B²l²v²/R .

Эта мощность будет равна мощности, которую необходимо подводить к системе за счёт внешней силы, действующей на проводник, для того, чтобы скорость движения проводника была постоянной. Таким образом:

P = B²l²v²/R = 1*0,01*400/0,4 = 10 Вт.

8. Две катушки равномерно намотаны на цилиндрический сердечник, длина которого много больше диаметра. Индуктивность первой катушки 0,2 Гн, второй – 0,8 Гн. Сопротивление второй катушки 600 Ом. Какой ток потечёт по второй катушке, если ток в 0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение времени 0,001 с.

РЕШЕНИЕ

Данная задача относится к разделу взаимной индукции. Сила тока во вторичной обмотке

I₂ =  ₂ /R ₂ . (1)

Величина  ₂ зависит от взаимной индуктивности L₁₂ и быстроты изменения силы тока I₁:

 ₂ = –L₁₂dI₁/dt = –L₁₂I₁/t = –L₁₂(I₁ – I₀₁)/t.. (2)

Взаимная индуктивность двух соленоидов, имеющих общий сердечник

L₁₂ = ₀n₁n₂lS. (3)

Собственные индуктивности

L₁ = ₀n₁²lS , (4)

L₁ = ₀n₂²lS, (5)

поэтому, учитывая выражения (3),(4),(5), получаем

L ₁₂ = . (6)

Подставляя выражение (6) в выражение (2), а полученный результат в выражение (1), получаем:

I ₂ = (L ₁₂I ₀₁) / R ₂ = (I ₀₁) / R ₂t .

I ₂ = = 0.2 А.

9. На тороид квадратного поперечного сечения намотано 1000 витков провода. Внутренний радиус тороида равен 0,1 см, внешний - 0,2 см. Магнитная проницаемость тороида равна100.По обмотке тороида протекает электрический ток силой 1 À. Определить энергию магнитного поля внутри тороида.

РЕШЕНИЕ

Решим задачу двумя способами.

1) Энергия магнитного поля – это энергия, запасённая в индуктивности:

W _m = LI²/2 .

где: L – индуктивность, I – сила тока, протекающего в индуктивности.

Потокосцепление, согласно определению индуктивности, равно:

 = LI,  = NФ _m,

где Ф _m – магнитный поток через поперечное сечение S тороида.

Ф _m = ,

где r – расстояние от центра тороида до площадки dS, на которой определяется величина индукции магнитного поля. Так как тороид квадратного сечения, то высота площадки h = (r ₂ - r ₁), а ширина - dr. Поэтому:

Ф _m =  ₀NI(r ₂ - r ₁) =  ₀NI(r ₂ - r ₁)ln .

Тогда индуктивность тороида

L = =  ₀N ² (r ₂ - r ₁)ln .

Подставляя выражение для индуктивности в выражение для энергии, получаем:

W _m = ₀N²(r₂ – r₁)I² ln(r₂/r₁) / (4) .

W _m = 100*4*10^–7*10⁶*10^–3*1*ln2 /(4) = 6,9 мДж.

2) Энергия магнитного поля W _m связана с плотностью энергии w _m соотношением

W _m = ,

где:

w _m = ₀Н ² / 2.

Внутри тороида:

Н = NI / l = NI / 2r.

Выберем в качестве элемента объема dV - объем цилиндрического слоя радиуса r, высотой h = (r ₂ - r ₁) и толщиной dr (в пределах этого слоя величина Н постоянна). Запишем выражение для dV = (r₂ – r₁)2r dr и подставим в выражение для энергии W_m. Получаем:

W _m =  ₀N ² I ²(r ₂ - r ₁)ln.

Подставим числовые значения и получим:

W = 6,9 МДж.

Как видим, оба решения дают одно и то же значение.

Примечание: если в условии задачи величина  не задана, а указано, что тороид представляет собой железный, стальной или чугунный сердечник, то величина  находится по графику зависимости В = В(Н), (Прил. 1) как:

 = В /  ₀Н

В качестве величины Н принять значение Н в центральной точке поперечного сечения тороида.