14. Правила Кирхгофа­­­­

Рис.1.8

Узлом называется точка разветвлённой электрической цепи, в которой сходится более двух проводников.

Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (1.69)

где: n - число проводников, сходящихся в узле; I _k — ток в узле (рис.1.8).

Положительными считаются токи, подходящие к узлу (токи I₁, I₃, I₅), отрицательными — токи, отходящие от узла (токи I₂, I₄, I₆).

Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвлённой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_k на сопротивление R_k соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре:

= . (1.70)

Для применения второго правила Кирхгофа выбирается определённое направление обхода контура (по часовой стрелке или против неё). Положительными считаются токи, направления которых совпадает с направлением обхода контура. ЭДС источников считаются положительными, если они создают токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура.

1. Примеры решения задач

1. Бесконечная прямая нить, равномерно заряженная электричеством с линейной плотностью ₁ = 310^-7 Кл/м, и отрезок длины l = 20 см, равномерно заряженный электричеством с линейной плотностью ₂ = 210^-7 Кл/м, расположены в одной плоскости перпендикулярно друг к другу на расстоянии r₀ = 10 см. Определить силу взаимодействия между ними.

РЕШЕНИЕ

Так как в задаче рассматривается взаимодействие равномерно распределённых зарядов, то для нахождения силы F следует воспользоваться соотношением:

dF = dqE . (1)

Будем считать, что нить создаёт вокруг себя электростатическое поле, в которое помещают заряд, равномерно распределённый на отрезке длины l. Если выделить на этом отрезке малый участок длиной dr, то находящийся на нём заряд

dq = ₂dr . (2)

можно считать точечным и рассматривать dF как силу, действующую со стороны электрического поля нити на dq. Тогда Е - вектор напряжённости поля нити в месте нахождения электрического заряда dq. Электрическое поле равномерно заряженной нити определяется выражением:

. (3)

Выражение (1) можно переписать в скалярной форме, учитывая сонаправленность E и dF (т.к. dF - сила отталкивания).

dF = Edq . (4);

Подставив (2) и (3) в (4) ,получим:

. (5)

Для нахождения результирующей силы, действующей на отрезок нити с зарядом q₂ со стороны поля бесконечной прямой нити, проинтегрируем выражение (5) в пределах от r₀ до (r₀+l);

. (6)

После подстановки числовых значений получим

.

2. Полый стеклянный шар несёт равномерно распределённый по объёму заряд. Его объёмная плотность  = 100 нКл/м³. Внутренний радиус шара R₁ = 5 см, а наружный R₂ = 10 см. Найти напряжённость электрического поля на расстоянии : а) r₁ = 3 см; б) r₂ = 6 см; в) r₃ = 12 от центра шара.

РЕШЕНИЕ:

Так как заряд шара распределён в пространстве симметрично относительно центра шара О, то можно утверждать, что и электрическое поле симметрично относительно этой точки. Это позволяет применить для решения задачи метод Гаусса. Из симметрии задачи следует, что вектор Е направлен вдоль r и зависит только от расстояния до центра шара r. Выбираем гауссову поверхность в виде сферы переменного радиуса r с центром в точке О. Учтем, что модуль напряжённости поля шара одинаков во всех точках этой поверхности, а Е _n = E _r. Так как шар диэлектрический, следует применить теорему Гаусса для вектора электрического смещения D. Тогда поток вектора смещения сквозь выбранную поверхность

N_D = = = DS = D4r² , (1)

где S - площадь гауссовой поверхности, r - её радиус.

Всё пространство можно разбить на 3 области:

1) 0 < r < R₁ 2) R₁ < r < R₂ 3) r > R₂. Применим теорему Гаусса для каждой области.

1. Величина свободного заряда, охватываемого поверхностью интегрирования в пределах первой области равна нулю. Следовательно, поток вектора смещения также равен нулю, а так как площадь поверхности не нулевая, то смещение и напряжённость поля в пределах первой области равна нулю :

D₁ = 0, Е₁ = D/₀ = 0 . (2)

2) R₁ < r < R₂

Суммарный свободный заряд, охватываемый гауссовой поверхностью, может быть выражен через объём той части шара, в которой он сосредоточен:

q ^своб = (r₂³-R₁³) . (3)

Применяя теорему Гаусса, получим:

D₂4r₂² =  E₂ = = =, (4)

где:  - диэлектрическая проницаемость стекла.

В/м .

3) r > R₂

Внутрь поверхности попадёт весь заряд шара, поэтому

q ^своб = (4/3)(R₂³ - R₁³). (5)

и применив теорему Гаусса:

D₃ 4r₃² = (4/3)  (R₂³ - R₁³)  Е ₃ = D ₃/₀ =. (6)

Е₃= В/м.

3. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен с линейной плотностью =133 нКл/м. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести заряд q=6,7нКл из центра полукольца в бесконечность ?

РЕШЕНИЕ

Работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2, может быть выражена по формуле А = q(₁ - ₂), где ₁ и ₂ -

потенциалы электрического поля, созданного полукольцом в центре и на бесконечности. Примем ₂ = 0. Тогда

А = q₁. (1)

Потенциал ₁ найдём, используя принцип суперпозиции для потенциала поля, созданного непрерывно распределёнными зарядами. Для этого разобьем полукольцо на элементарные отрезки длиной dl. Заряд, находящийся на каждом из них, можно считать точечным и равным dq = dl. Потенциал поля такого заряда равен .

Интегрируя полученное выражение в пределах от нуля до длины полуокружности l = R, получим искомый потенциал:

₁=, . (2).

Подставляем (2) в (1) :

А = q₁ = .

Подставляя числовые значения заданных величин, получим:

Дж.

4. Металлическому изотропному шару радиусом R сообщили заряд Q, после этого поверхность шара покрыли слоем диэлектрика толщиной h. Чему равна плотность связанных зарядов на внешней и внутренней поверхностях диэлектрика и полный наведённый заряд, если относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика .

РЕШЕНИЕ

Применим теорему Гаусса для вектора D. Поверхность интегрирования выберем в виде сферы с радиусом равным R и центром совпадающим с центром металлического шара.

.

В виду симметрии задачи интеграл в левой части равен

.

сравнивая две формулы получим выражение для модуля электрического смещения

D = Q/4R ².

С другой стороны по определению:

D =  ₀E + P .

Используя связь между вектором поляризации и напряженностью электрического поля, запишем: P =  ₀E = ( - 1) ₀E, E = P/( - 1) ₀ ,

где - восприимчивость диэлектрика,

Подставляя это выражение в формулу для электрического смещения, получим:

.

Учитывая, что вектора D и P параллельны и, используя результат применения теоремы Гаусса , запишем выражение для модуля вектора поляризации

. (1)

Так как P перпендикулярен поверхности диэлектрика и нормальная составляющая вектора поляризации равна поверхностной плотности связанных зарядов:

P = P _n =  ^ , (2 )

то сразу получаем выражение для ₁^- плотности связанных зарядов на внутренней поверхности диэлектрика

. (3)

и q ^- полного заряда, наведенного на внутренней поверхности диэлектрика, связанного с ₁^ соотношением q ^ = 4R²₁^.

q ^ . (4)

В силу закона сохранения заряда точно такой же по модулю, но противоположный по знаку заряд должен появиться на внешней поверхности диэлектрика. Очевидно, что его плотность будет

.

5. На два последовательно соединенных конденсатора С₁ = 100 пф и С₂ = 200 пф подано постоянное напряжение U = 300 В. Определить энергию запасенную в каждом конденсаторе.

РЕШЕНИЕ

Так как обкладки конденсаторов соединены, то заряд появляющийся под действием приложенного напряжения на первом конденсаторе, равен заряду появляющемуся на втором конденсаторе (в соответствии с явлением электростатической индукции). Поскольку заряд связан с емкостью конденсатора и напряжением на нем соотношением q = CU, то мы можем записать:

C ₁U ₁ = C ₂U ₂ (1)

с другой стороны

U ₁ + U ₂ = U (2)

Решая совместно эту систему уравнений найдем напряжение на первом и втором конденсаторе

. (3)

. (4)

Подставляя эти значения в формулу для энергии конденсатора, получим

. (5)

. (6)

Подставляя значения величин найдем:

W_Э1 = 210^-6 Дж = 2 мкДж, W_Э2 = 110^-6 Дж = 1 мкДж.

6. Медный проводник (удельное сопротивление меди  = 17 нОм·м) подключен к источнику с ЭДС,  = 4 В; внутренне сопротивление источника r = 0,1 Ом. Сечение проводника S = 0,085 мм², длина l = 9,5 м. Считая, что ток течет по всему поперечному сечению проводника, найти величину напряженности электрического поля внутри него.

РЕШЕНИЕ

Для того, чтобы найти напряженность электрического поля в проводнике, воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме:

j = E , (1)

где j – плотность тока, E – вектор напряженности электрического поля,  - электропроводность вещества проводника, равная 1/.

Величина искомой напряженности электрического поля в проводнике, согласно (1), определяется соотношением:

E = j /  = j. (2)

Таким образом, задача нахождения напряженности поля сводится к задаче нахождения величины плотности тока j в цепи.

Плотность тока можно найти, если известна сила тока I, протекающего по проводнику:

j = I / S. (3)

Полный ток в цепи найдем из закона Ома для полной цепи:

I =  / (R + r), (4)

где r – внутренне сопротивление источника, а R - сопротивление проводника.

Для R справедливо:

R = l/S. (5)

Объединяя формулы (2) - (5), окончательно запишем:

E = j = I / S =  / (R + r)S =  / (l / S + r)S. (6)

Подстановка в (6) численных данных позволяет написать ответ:

Е = 0,4 В/м.

7. Падение напряжения в проводнике, состоящем из двух последовательно соединенных кусков медной проволоки одинаковой длины (l₁ = l₂ = 10 м) но разного диа-

метра (d₁ = 2d₂), равно 10 В. Найти удельную тепловую мощность тока во втором куске проволоки. Удельное сопротивление меди   = 17 нОм·м.

РЕШЕНИЕ

Удельная тепловая мощность тока (плотность тепловой мощности) равна:

w = E ² = E² = j ² . (1)

Поэтому, чтобы найти w₂ необходимо определить две величины: количество тепла Q₂ , которое выделяется в более тонком проводнике в единицу времени и объем этого проводника. Сделаем это в общем виде.

Количество теплоты Q₂ можно найти, если учесть, что ток I в проводниках один и тот же, а сопротивление более тонкого отрезка проводника в четыре раза больше, чем у толстого (отношение сопротивлений определяется соотношением

= = = 4. (2)

Согласно закону Джоуля-Ленца, представленному в интегральной форме,

, (3)

где Q₁ – тепло, выделяющееся в единицу времени в более толстом проводнике.

Общая энергия, которая выделяется во всем проводнике равна:

, (4)

где U – падение напряжения в проводнике.

Из (4) следует, что количество теплоты, выделяющееся во втором проводнике в единицу времени равно:

. (5)

В (5) все величины, кроме сопротивления второго участка проводника, известны. Однако в знании R₂ нет необходимости. Действительно, если связать между собой объем второго проводника с его сопротивлением

, (6)

то нетрудно видеть, что удельная тепловая мощность тока во втором проводнике не зависит от его сопротивления:

. (7)

Подставляя в (7) численные данные получаем ответ:

w ₂ = 3.76  10 ⁷ Вт/м³.

8. Заряд сферического конденсатора из-за того, что через диэлектрическую прокладку протекает ток, уменьшается за время  в n раз. Найти удельное сопротивление  прокладки, если ее диэлектрическая проницаемость равна .

РЕШЕНИЕ

Сопротивление диэлектрика между обкладками сферического конденсатора можно найти просуммировав сопротивления граничащих друг с другом сферических слоев толщиной dr:

. (1)

В формуле (1): a – это радиус внутренней обкладки сферического конденсатора, b – внешней;  ₀ – электрическая постоянная. C – емкость конденсатора, определяемая соотношением:

. (2)

Из (1) следует, что для определения величины удельного сопротивления материала прокладки достаточно найти произведение емкости конденсатора на полное сопротивление прокладки:

. (3)

Это можно сделать, если учесть, что за время dt конденсатор теряет заряд:

, (4)

где I – ток утечки. Знак «-» в (4) учитывает тот факт, что заряд конденсатора со временем убывает.

По закону Ома:

, (5)

где U – разность потенциалов между обкладками конденсатора, равная по определению:

, (6)

где q – заряд конденсатора.

Объединяя (1), (4)-(6), получаем дифференциальное соотношение, в которое входит искомое произведение CR:

. (7)

После интегрирования получаем:

, (8)

где q₁ – начальный заряд конденсатора, q₂ – конечный.

Подставляя CR из (8) в (3), окончательно имеем:

.