5. Примеры применения теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей в вакууме.

Поле заряда q, равномерно распределённого по поверхности сферы радиуса R с поверхностной плотностью .

Если r > R, то = q и

Е _r = . (1.24)

Если r < R, то = 0 и

Е _r = 0. (1.25)

Из связи между потенциалом и напряжённостью поля следует, что. Полагая  = 0 при r  , получим для потенциала поля вне сферы (r  R):

 = q/(4₀r). (1.26)

Внутри сферы (r < R) потенциал всюду одинаков

 = R/ ₀. (1.27)

Графики зависимостей E _r и  от r приведены на рис.1.4

Поле заряда q, равномерно распределённого в вакууме по объёму шара радиуса R с объёмной плотностью

 =

Если r > R, то = q и

Е _r = ,  = . (1.28)

Если r < R, то:

= r³ = и Е _r =. (1.29)

Из связи между  и Е следует, что для r < R:  = (R) - ; так что . (1.30)

Графики зависимостей Е _r и  от r приведены на рис.1.5.

Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме по плоскости с поверхностной плотностью . Эта плоскость (х = 0) является плоскостью симметрии поля, вектор напряжённости Е которого направлен перпендикулярно плоскости от неё (если  > 0) или к ней (если  < 0).

Для всех точек поля

|Е_х| = . (1.31)

Так как = - Е _х то, полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости (х = 0), получим . (1.32)

Графики зависимостей Е и  от x приведены на рис.1.6.

6. Электрическое поле в диэлектрических средах. Дипольные моменты молекул диэлектрика. Поляризация диэлектрика.

Вещества, которые не проводят электрический ток, называются диэлектриками. В диэлектриках, в отличие от проводников, нет свободных носителей заряда. Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны. Тем не менее молекулы обладают электрическими свойствами. В первом приближении молекулу можно рассматривать как электрический диполь с дипольным электрическим моментом р_е = ql.

Как всякий электрический диполь, молекула создаёт электрическое поле, поэтому электрические поля диполей, складываясь, создают некоторое собственное поле Е ^, которое, налагаясь на внешнее поле Е _о, образует результирующее электрическое поле в диэлектрике Е = Е _о + Е ^.

Существует два основных вида однородных и изотропных диэлектриков:

неполярные диэлектрики ( атомы и молекулы таких диэлектриков в отсутствии внешнего электрического поля не имеют дипольных моментов, а при помещении в электрическое поле приобретают индуцированные дипольные моменты, пропорциональные величине напряженности поля );

полярные диэлектрики ( атомы и молекулы таких диэлектриков в отсутствии внешнего электрического поля обладают дипольными моментами, при помещении в электрическое поле дипольные моменты ориентируются преимущественно по направлению вектора напряженности поля ).

На электрический диполь в электрическом поле действует момент сил, поворачивающий диполь по направлению поля, равный:

М = [ p _e, E ], М = р _eЕ sin. (1.33)

Электрическое поле совершает работу при ориентации диполя, поэтому электрический диполь во внешнем поле обладает потенциальной энергией, равной:

W_п = - (p _e E) = -(p _eE)cos, (1.34)

где:  - угол между дипольным моментом и напряженностью поля (рис.1.7).

Установлению параллельной ориентации всех дипольных моментов препятствует тепловое движение атомов и молекул диэлектрика.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит поляризация диэлектрика, состоящая в том, что в любом малом его объёме V возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул. Диэлектрик в таком состоянии называется поляризованным. Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор поляризации Р.

Поляризацией (вектором поляризации) называется электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика:

P = р _еi.

В случае неоднородной поляризации ( Р  const ) необходимо рассматривать предел этого отношения, когда V  0.

Для однородных и изотропных диэлектриков вектор поляризации пропорционален напряженности поля:

Р =  _оЕ, (1.35)

где:  - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

В результате поляризации диэлектрика в тонких слоях у ограничивающих его поверхностей возникают некомпенсированные связанные заряды, называемые поверхностными поляризационными ( связанными ) зарядами. Поверхностная плотность _связ поляризованных зарядов равна проекции вектора поляризации Р на внешнюю нормаль n к рассматриваемой поверхности диэлектрика:

 _связ = Р_n = Р cos, (1.36)

где:  - угол между вектором поляризации и нормалью к поверхности.