2. Принцип суперпозиции электрических полей.

Основная задача электростатики формулируется следующим образом : по заданным распределению в пространстве и величине источников поля - электрических зарядов - найти значение вектора напряжённости Е во всех точках поля. Эта задача может быть решена на основе принципа суперпозиции электрических полей (принципа независимости действия электрических полей) :

Напряжённость электрического поля системы зарядов равна геометрической сумме напряжённостей полей каждого из зарядов в отдельности.

Заряды могут быть распределены в пространстве либо дискретно, либо непрерыно. В первом случае напряжённость поля :

Е = , (1.4)

где E _i - напряжённость в рассматриваемой точке пространства поля i-го заряда системы, а n — общее число дискретных зарядов, которые входят в состав системы.

Если электрические заряды непрерывно распределены вдоль линии, то вводится линейная плотность зарядов :

 = (dq/dl), (1.5)

где dq — заряд малого участка длиной dl.

Если электрические заряды непрерывно распределены по некоторой поверхности, то вводится поверхностная плотность зарядов :

 = (dq/dS), (1.6)

где dq— заряд, расположенный на малом участке поверхности площадью dS.

При непрерывном распределении зарядов в каком-либо объёме вводится объёмная плотность зарядов :

 = (dq/dV), (1.7)

где dq— заряд, находящийся в малом элементе объёма dV.

Согласно принципу суперпозиции напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме непрерывно распределёнными зарядами, равна:

Е = dЕ = , (1.8)

где dE - напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме малым зарядом dq, а интегрирование проводится по всем непрерывно распределённым зарядам.

Напряжённость электростатического диполя в вакууме:

Электрическим диполем называется система из двух равных по абсолютной величине и противоположных по знаку электрических зарядов q>0 и -q, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля. Плечом диполя называется вектор l, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и численно равный расстоянию l между ними. Вектор p _e= ql называется электрическим моментом диполя (дипольным электрическим моментом). Напряжённость Е поля диполя в произвольной точке Е = Е₊ + Е _- , где Е₊ и Е _- - напряжённости полей зарядов q и -q (рис.3.3.1).

В точке А, расположенной на оси диполя на расстоянии r от его центра (r>>l), напряжённость поля диполя в вакууме равна:

Е_А = . (1.9)

В точке В, расположенной на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины, на расстоянии r от центра (r>>l)

E_В = . (1.10)

В произвольной точке С модуль вектора напряженности Е _С равен:

, (1.11)

где r - величина радиуса - вектора, проведенного от центра диполя к точке С;  - угол между радиус - вектором r и дипольным моментом р _е (рис.1.2)

3. Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Элементарным потоком напряжённости электрического поля сквозь малый участок площадью dS поверхности, проведённой в поле, называется скалярная физическая величина, равная:

dN = EdS = EdScos(E,n) = E_ndS = EdS_, (1.12)

где Е — вектор напряжённости электрического поля на площадке dS, n - единичный вектор, нормальный к площадке dS, dS = dSn - вектор площадки, Е_n = Ecos(E,n) - проекция вектора Е на направление вектора n, dS_ = dScos(E,n) - площадь проекции элемента dS поверхности на плоскость, перпендикулярную вектору Е (рис.1.3).

Теорема Гаусса

Поток напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведённую в поле, пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.

= , (1.13)

где ₀—электрическая постоянная, а все векторы dS направлены вдоль внешних нормалей к замкнутой поверхности интегрирования S, которую часто называют гауссовой поверхностью.