4. Потенциал электростатического поля. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нём электрического заряда.

Работа А, совершаемая кулоновскими силами при малом перемещении dl точечного заряда q в электростатическом поле, равна:

А = Fdl = qEdl = qEdlcos(E,dl), (1.14)

где Е — напряжённость поля в месте нахождения заряда q, (Е,dl) — угол между векторами Е и dl.

Работа кулоновской силы при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории заряда q. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q вдоль любого замкнутого контура L равна нулю.

Циркуляцией напряжённости Е электрического поля вдоль замкнутого контура L, проведённого в поле, называется линейный интеграл

= .

Для электростатического поля справедлива теорема о циркуляции:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю

. (1.15)

Это соотношение, выражающее потенциальный характер электростатического поля, справедливо как для поля в вакууме, так и в веществе.

Работа А, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна убыли потенциальной энергии этого заряда в поле:

А= - dW_П и А_1-2= - W_П = W_П1 - W_П2, (1.16)

где W_П1 и W_П2 — значения потенциальной энергии заряда q в точках 1 и 2 поля. Энергетической характеристикой электростатического поля служит его потенциал.

Потенциалом электростатического поля называется скалярная физическая величина , равная отношению потенциальной энергии W_П пробного точечного заряда, помещённого в рассматриваемую точку поля, к величине q этого заряда.

. (1.17)

Потенциал поля точечного заряда q_i в вакууме:

_i = . (1.18)

Принцип суперпозиции для потенциала

 =, (1.19)

т.е., при наложении электростатических полей их потенциалы складываются алгебраически.

Потенциал поля электрического диполя в точке С (рис.1.2):

. (1.20)

Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то потенциал  их поля в вакууме:

 = =, (1.21)

где интегрирование проводится по всем зарядам, образующим рассматриваемую систему.

Работа А_1-2, совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 поля (потенциал ₁) в точку 2 (потенциал ₂),

А_1-2 = q (₁ - ₂). (1.22)

Если ₂ = 0, то: ₁ = .

Потенциал какой-либо точки электростатического поля численно равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки в точку поля, где потенциал принят равным нулю.

При изучении электростатических полей в каких-либо точках важны разности, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется только удобством решения данной задачи. Связь между потенциалом и напряжённостью имеет вид:

Е _х = , Е _у = , Е _z = и Е = - grad  , (1.23)

т.е. напряжённость электростатического поля равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциала.

Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потенциалов одинаковы, называется эквипотенциальной поверхностью. Если вектор dl направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности, то = 0 и Е _ = 0. Это означает, что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности в каждой точке т.е. E = E _n.