- •Линейные системы Классификация автоматических систем по назначению
- •Понятие об автоматическом регулировании
- •Принцип регулирования по возмущению
- •Принцип регулирования по отклонению (ошибке)
- •Системы стабилизации, системы программного регулирования и следящие системы
- •Статические и астатические системы
- •Одноконтурные и многоконтурные системы
- •Одномерные и многомерные системы
- •Методы анализа и синтеза сар Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования
- •Преобразование Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Ряды и интегралы Фурье Гармонический анализ
- •Понятие о спектрах
- •Интеграл фурье Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье
- •Преобразование фурье Прямое и обратное преобразование Фурье
- •Связь преобразований фурье и лапласа Формула
- •Если , то предел этой последовательности
- •2.Гармонические колебания.
- •Передаточные функции системы
- •Частотные характеристики системы
- •Пусть воздействие
- •И требуется определить изменение X(t) в установившемся процессе, т.Е. Найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее.
- •Связь между частотными и временными характеристиками линейной системы.
- •Типовые динамические звенья и их характеристики
- •Интегрирующие звенья
- •Структурные схемы Правила преобразования структурных схем
- •Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейной одноконтурной сар
- •Устойчивость линейных систем
- •Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
- •Критерий устойчивости Михайлова.
- •Критерий Найквиста
- •Логарифмический критерий устойчивости
- •Критерии качества
- •Точность при типовых воздействиях
- •Постоянное ступенчатое воздействие
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по кривой процесса регулирования.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным показателям качества.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по ачх замкнутой системы.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по афх разомкнутой системы.
- •По теореме косинусов:
- •Эта зависимость существует только для модулей
- •Способы улучшения процесса регулирования и методы синтеза линейных систем. Увеличение общего коэффициента усиления.
- •Увеличение порядка астатизма.
- •Компенсация возмущений.
- •Повышение запаса устойчивости и быстродействия линейных систем.
- •Дополнительные обратные связи могут быть жесткими и гибкими.
- •Синтез сар методом логарифмических частотных характеристик.
Критерий Найквиста
Этот критерий позволяет судить об устойчивости САР по виду ее АФХ в разомкнутом состоянии.
Передаточная функция замкнутой САР может быть выражена через передаточную функцию разомкнутой системы W(s).
Ф(s)=W(s)/(1+W(s))
Пусть W(s)=M(s)/Q(s), где M(s) и D(s) – многочлены от s, причем степень многочлена M(s) меньше степени многочлена Q(s). Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
где
Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой, а многочлен Q(s) – разомкнутой автоматической системы. Очевидно, что степени этих многочленов равны.
Образуем сумму
W1(j)=1+W(j)=1+M(j)/Q(j)=D(j)/Q(j)
Из критерия Михайлова следует, что замкнутая система будет устойчивой, если приращение аргумента d=n/2, где n-степень характеристического многочлена D(s); при этом условии D(s) не имеет корней в правой полуплоскости плоскости S.
В разомкнутом состоянии САР в общем случае может быть неустойчивой, то есть Q(s) может иметь корни в правой полуплоскости (полагаем, что на мнимой оси Q(s) корней не имеет). Если число таких корней равно L, то приращение аргумента (угол поворота вектора Q(j) при изменении
от 0 до )
q=n/2-L
Следовательно, угол поворота вектора суммы W1(j) при изменении от 0 до
=d - q= n/2 - n/2-nL= L
Для устойчивой системы вектор W1(j) при изменении от 0 до повернется на угол L в положительном направлении (против часовой стрелки) так как функция W(j) отличается от W1(j) на (-1), то для устойчивой замкнутой системы вектор W(j) при изменении oт 0 до повернется на угол L относительно точки (-1, j0), иными словами АФХ разомкнутой системы должна охватывать L/2 раз точку (-1, j0).
На основании выше изложенного, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:
-1;j0
Автоматическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы W(j) не охватывает точку (-1,j0). Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический многочлен имеет L корней в правой полуплоскости, то для устойчивости автоматической системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ W(j) охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении L/2 раз.
Примеры. Разомкнутая система неустойчива
L=1 =, охватывает ½ раз - система устойчива
П++П-= ½
=- , - система не устойчива
П++П-=½-1½ - не устойчива
L=2
=2 , охватывает 1 раз L/2 – замкнутая система устойчива
П+-П -= 1 – устойчива.
Если АФХ имеет сложную форму, то определение результирующего поворота (охвата) сложно. В этом случае удобно использовать правило переходов.
Переход АФХ W(jw) через участок вещественной оси (-,-1) с возрастанием частоты называется положительным если он проходит “сверху”-”вниз” и отрицательным, если “снизу”-”вверх”. Обозначают + и – в кружочках. Если АФХ начинается на вещественной оси в интервале (-;-1), то эта точка считается за + ½ перехода, если вниз, и за - ½ , если вверх.
Если разомкнутая система является неустойчивой, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между общим числом П+ - положительных и П -- отрицательных переходов АФХ W(j) через участок вещественной оси (-;-1) при изменении частоты от 0 до было равно L/2 , где L –число правых корней характеристического уравнения системы.
П+ -П - =L/2
Разомкнутая система – устойчива
L=0
=0
П+-П -=0
устойчива замкнутая система
=0
П+-П-=0 замкнутая система устойчива
не охватывает
=2;0
П+-П-= -10 замкнутая система не устойчива
охватывает
Если АФХ проходит через (-1;j0) то замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.
Некоторые особенности применения критерия Найквиста появляются при исследовании устойчивости систем, нейтральных в разомкнутом состоянии. Это системы имеющие нулевые корни (апериодическая граница устойчивости), а также системы, находящиеся в разомкнутом состоянии, на колебательной границе устойчивости, то есть имеющих чисто мнимые корни.
Например, если Q(s) имеет один нулевой корень, то годограф W(j) при 0 обращается в бесконечность.
В этом случае для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, включают нулевой корень в левую полуплоскость, огибая его справа окружностью бесконечно малого радиуса 0. При этом годограф W(j) дополняется частью окружности бесконечно большого радиуса, проводимой по часовой стрелке от положительной полуоси, то есть на угол /2 .
При нескольких нулевых корнях, угол дополнения АФХ окружностью бесконечно малого радиуса доп=/2 где - число нулевых корней (порядок астатизма)
Аналогичные дополнения приходится проводить при наличии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы, так как в этом случае АФХ имеют разрывы