Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным показателям качества.

Качество системы определяется по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой системы. Большим достоинством частотных показателей качества является возможность использования для оценки качества замкнутой системы экспериментально снятых частотных характеристик всей разомкнутой системы или её отдельных звеньев.

Оценка запаса устойчивости и быстродействия по ачх замкнутой системы.

Частотную передаточную функцию замкнутой системы можно записать в виде:

(j)=H()e^j(), где H()=(j), а ()=arg(j).

Возможные очертания H() показаны на рис. Для большинства систем характеристика имеет пик H_max. В ряде случаев это невозрастающая функция частоты.

H()

H(0) 1

2

H_max

_р



Для САР находящейся на колебательной границе устойчивости H() терпит разрыв. Таким образом, для того чтобы САР была удалена от границы устойчивости, величина пика должна быть ограничена сверху и величина пика АЧХ замкнутой системы может служить количественной оценкой запаса устойчивости.

З апас устойчивости принято оценивать по величине так называемого показателя колебательности, под которым понимают наибольшее значение отношения H()/H(0) т.е.

Д ля характеристики 1 M=H_max/H(0), для 2 M=1. На колебательной границе устойчивости М=. Для статических САР

Д ля астатических H(0)=(0)=1. Тогда:

или M=H_max

Обычно запас устойчивости считается достаточным, если М лежит в пределах

1,1М1,8

Как правило, АЧХ САР независимо от сложности этой системы близка к АЧХ колебательного звена. Поэтому переходные процессы в системе будут близки к переходным процессам колебательного звена. Эта гипотеза позволяет оценивать качество процессов по виду АЧХ замкнутой системы, в частности по показателю колебательности М.

Однако в некоторых случаях АЧХ может иметь несколько резонансных пиков и значительно отличаться от характеристики колебательного звена.

Мерой быстродействия САР может служить полоса пропускания  системы, определяемая по виду АЧХ. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие системы. Показателю колебательности М>1 соответствует резонансная частота _р, которая приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутой системы в переходном процессе. При этом время достижения первого перерегулирования

П ри условии, что переходной процесс заканчивается за 1-2 колебания, (что соответствует достаточно большим запасам устойчивости) используют следующую приближённую зависимость для оценки времени затухания переходного процесса

Оценка запаса устойчивости и быстродействия по афх разомкнутой системы.

Запас устойчивости замкнутой системы определяется степенью удаления АФХ разомкнутой системы W(j) от точки (-1;j0). Прохождение АФХ через эту точку соответствует нахождению САР на колебательной границе устойчивости. Удаление АФХ от (-1;j0) соответствует повышению запаса устойчивости.

Рассмотрим количественные оценки степени удаления АФХ W(j) от точки (-1;j0). Удалённость можно характеризовать при помощи двух положительных чисел H_m и _ср, называемых запасами устойчивости системы по амплитуде (по модулю) и по фазе.

jV

H_m1

H_m2

-1

_1 _2 U

_ср _ср

И з рис. следует, что

З апас устойчивости по амплитуде показывает, на какую величину должен измениться модуль АФХ разомкнутой системы на частоте, при которой фазовая характеристика достигает значения (-180), для того чтобы замкнутая САР оказалась на колебательной границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе _ср показывает, на какую величину должно увеличиться отставание по фазе в разомкнутой системе на частоте, при которой АЧХ равняется единице (т.е. W(j_ср)=1) для того, чтобы замкнутая САР оказалась на колебательной границе устойчивости.

Оценки H_m и _ср просты, наглядны и удобны. Ими легко пользоваться также в тех случаях, когда рассматриваются логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

() L()

L()

()

-180 _ср _п

H_m 

-90 _ср

Достаточными запасами устойчивости считаются: H_m  6-12дб, _ср  30.

Д ля оценки степени удалённости АФХ разомкнутой системы от точки

(-1;j0) может применяться показатель колебательности М. Величину М легко определить по АФХ разомкнутой системы:

П ри H()=H=const выражение определяет в неявном виде некоторую функциональную зависимость между U и V. Геометрически на плоскости (U,jV) эта зависимость сводится к кривой, представляющей собой геометрическое место всевозможных значений U и V, при которых АЧХ замкнутой системы имеет постоянное значение H. Для каждого значения H (*) определяет свою кривую на плоскости (U;jV). Найдём уравнение семейства кривых H=const. Для этого возведём обе части (*) в квадрат и преобразуем его.

Это окружность с радиусом R и центром (-С). При H=1 C=R= и окружность вырождается в прямую, параллельную jV и проходящую слева от неё на расстоянии 0,5.

jV

1,2 H=1 H=8

1,6 0,6

1,8

H=0,4

3 -1

_max U

W(j)

Окружности соответствующие H>1 слева, а H<1 справа от прямой H=1. При H окружность вырождается в точку с координатами (-1;j0).

По семейству окружностей H=const и АФХ разомкнутой системы не трудно построить АЧХ H()=.Для каждого значения частоты на АФХ амплитудная характеристика равна индексу той окружности H=const,которая проходит через точку АФХ соответствующую рассматриваемому значению .

Наибольшее значение H_max АЧХ H() равно индексу той окружности H=const, которой касается АФХ разомкнутой системы. На рис. H_max=3. _max=_р и равны значению  при котором происходит касание.

По значению H_max легко определить показатель колебетельности М. Так для астатических систем M=H_max, т.е. показатель колебательности равен индексу той линии, которой касается W(j).

В связи с этим для астатических систем линии H=const части условно называют линиями постоянных значений показателя колебательности М и оцифровку дают прямо в значениях М.

Д ля астатических систем величина показателя колебательности не превосходит заданного значения М, если АФХ разомкнутой системы не заходит внутрь запретной зоны, представляющей собой круг радиуса:

с центром в точке

на отрицательной вещественной полуоси.

M/(M-1) jV

C=M²/(M²-1)

M/(M+1)

-1 = U

D A 

B

Запретная зона окружает точку (-1;j0) и обеспечивает получение необходимого запаса устойчивости. Показатель колебательности может быть определён и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого предварительно рассмотрим условия, которые должны удовлетворять отдельно ЛАЧХ и ЛФХ для т ого, чтобы W(j) не попала в запретную зону. На окружности (см. рис.) возьмём произвольную точку В и проведём в неё вектор. Из треугольника ОВД для этого вектора найдём связь между модулем А и запасом по фазе .