Свойства преобразования Лапласа

1. Линейность преобразования.

Если f1(t), f2(t)…fn(t) являются оригиналами и их изображения F1(s), F2(s)…Fn(s) и если 1,2...n – величины, не зависящие от t и s, то справедливы следующие равенства

(3)

Пример. Найти изображение по Лапласу функций Sint, Cost, Sint, Cost, где  - вещественное число.

Ранее определено, что . Найдем

.

Аналогично будем иметь ;

Определим изображение по Лапласу Sint :

.

Аналогично

.

2. Дифференцирование и интегрирование оригинала.

Если функция с ее производной являются оригиналами и F(S) есть изображение оригинала , то справедливо равенство

(без доказательства). (4)

Если положить начальное значение f(+0)=0, то получим

(5)

т.е. операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число S.

Если производные высших порядков f(2)(t); f(3)(t)…f(n)(t) являются оригиналами, то справедливы следующие равенства

(6)

Если функция f(t) является оригиналом, причем F(S) – его изображение, то интеграл также является оригиналом и справедливо равенство

. (7)

Здесь , причем - постоянная интегрирования.

Если положить f(+0)=0, то найдем, что операция интегрирования оригинала соответствует операции деления изображения этого оригинала на комплексное число S.

Распространим на интегралы высших порядков. Пусть ,

Тогда (8)

3. Смещение в области оригиналов и в области изображений. Изменение масштаба.

Если f(t) – оригинал и F(S) – его изображение, то изображение смещенного оригинала f(t-a), где а – положительное число, определяется равенством

(9)

Следует лишь иметь в виду, что f(t-a)=0 при t<a, т.к. оригинал f(t)=0 при t<0.

При обратном преобразовании Лапласа справедливо равенство

(10)

Пример. Найти изображение смещенного оригинала (t-a)2 см. рис.

Если f(t) – оригинал и F(S) – его изображение и если а – любое комплексное число, то справедливо равенство

. (11)

Из этого следует, что умножение оригинала на экспоненциальную функцию приводит к смещению особых точек и нулей его изображения. Заметим, что, если соответствие справедливо в полуплоскости ReS=C>C0 , то соответствие (11) имеет смысл Re(S+a)>C0, т.е. ReS>C0-Rea.

Пример. Найти изображение функций ; .

; получим

; .

Если f(t) – оригинал и F(S) – его изображение и a – вещественное положительное число, то справедливо равенство

(12)

Пример. Найти изображение функции (a>0)

4. Умножение в комплексной и действительной областях.

Позволяет находить оригинал, соответствующий произведению изображений, а также определять изображение произведения оригиналов.

Если f1(t) и f2(t) – оригиналы и их изображения соответственно F1(S) и F2(S), то справедливо равенство

(13)

где - интеграл свертки.

И наоборот

(t>0) (14)

Пример. Найти оригинал f(t), изображение которого

Представим заданное изображение в виде произведения сомножителей

;

Т.к. , то по формуле (14) получим

Если f1(t) и f2(t) – оригиналы и F1(S), F2(S) – их изображения, то произведение f1(t)f2(t) также является оригиналом и справедливо равенство

, (15)

где .

С* - вещественное число, удовлетворяющее неравенству С2<C*<C-C1, причем С1 и С2 абсциссы абсолютной сходимости функций f1(t) и f2(t) соответственно, C=ReS, кроме того max(C1;C2;C1+C2)<C

Интеграл в (15) представляет собой свертку функций F1(S) и F2(S). Таким образом, умножение оригиналов соответствует операции свертывания изображений этих оригиналов.

5. Дифференцирование и интегрирование изображений.

Если f(t) – оригинал и F(S) – изображение, то

(16)

Если f(t) – оригинал и F(S) – изображение и если интеграл сходится, то справедливо равенство

(17)

Здесь и контур интегрирования расположен в части плоскости, где функция F(S) является аналитической.

6. Начальное и предельное значение оригинала.

Позволяет судить по виду изображения оригинала о поведении оригинала при t=0 и t.

Если f(t) и f(t) – оригиналы и F(S) – изображения f(t), то при существовании предела справедливо равенство

. (18)

Причем S по такому пути, что ReS=C неограниченно возрастает.

Пример. Найти начальное значение f(t), если его изображение .

По (18) получим .

Проверим .

Если функции f(t) и f(t) – оригиналы и F(S) – изображение f(t) и если SF(S) является аналитической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси, то справедливо равенство

(19)

Пример. Найти предельное значение f(t) из предыдущего примера.

Функция является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси по (19) найдем .

Действительно

.