- •Линейные системы Классификация автоматических систем по назначению
- •Понятие об автоматическом регулировании
- •Принцип регулирования по возмущению
- •Принцип регулирования по отклонению (ошибке)
- •Системы стабилизации, системы программного регулирования и следящие системы
- •Статические и астатические системы
- •Одноконтурные и многоконтурные системы
- •Одномерные и многомерные системы
- •Методы анализа и синтеза сар Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования
- •Преобразование Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Ряды и интегралы Фурье Гармонический анализ
- •Понятие о спектрах
- •Интеграл фурье Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье
- •Преобразование фурье Прямое и обратное преобразование Фурье
- •Связь преобразований фурье и лапласа Формула
- •Если , то предел этой последовательности
- •2.Гармонические колебания.
- •Передаточные функции системы
- •Частотные характеристики системы
- •Пусть воздействие
- •И требуется определить изменение X(t) в установившемся процессе, т.Е. Найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее.
- •Связь между частотными и временными характеристиками линейной системы.
- •Типовые динамические звенья и их характеристики
- •Интегрирующие звенья
- •Структурные схемы Правила преобразования структурных схем
- •Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейной одноконтурной сар
- •Устойчивость линейных систем
- •Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
- •Критерий устойчивости Михайлова.
- •Критерий Найквиста
- •Логарифмический критерий устойчивости
- •Критерии качества
- •Точность при типовых воздействиях
- •Постоянное ступенчатое воздействие
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по кривой процесса регулирования.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным показателям качества.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по ачх замкнутой системы.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по афх разомкнутой системы.
- •По теореме косинусов:
- •Эта зависимость существует только для модулей
- •Способы улучшения процесса регулирования и методы синтеза линейных систем. Увеличение общего коэффициента усиления.
- •Увеличение порядка астатизма.
- •Компенсация возмущений.
- •Повышение запаса устойчивости и быстродействия линейных систем.
- •Дополнительные обратные связи могут быть жесткими и гибкими.
- •Синтез сар методом логарифмических частотных характеристик.
Преобразование Лапласа
В настоящее время под операционным исчислением понимается совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными и непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений.
Операционное исчисление нашло широкое применение в ТАРе, где с его помощью производится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах. Сущность операционного метода заключается в следующем. Пусть задана некоторая функция f(t) действительной переменной t, причем такая, что для нее существует преобразование Лапласа (L-преобразование)
, (1)
т.е. интеграл в правой части этого равенства является сходящимся. Используя L-преобразование, можно каждой преобразуемой по Лапласу функции f(t) (в этом случае функция f(t) называется “оригиналом”) поставить в соответствие функцию F(S) комплексной переменной S (при этом функция F(S) называется “изображением” функции f(t)). Преобразование Лапласа обладает рядом замечательных свойств. Например, дифференцированию оригинала f(t) по переменной t соответствует операция умножения изображения F(S) на комплексную переменную S, а интегрированию f(t) – операция деления F(S) на S.
Таким образом, операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются в пространстве изображений оригинала более простыми операциями алгебры – соответственно умножением и делением изображения F(S) на S. Это позволяет дифференциальное уравнение, записанное относительно искомой функции f(t) заменить в пространстве изображений на алгебраическое уравнение и, найдя F(S), мы получим изображение решения исходного дифференциального уравнения. Для определения самого решения можно воспользоваться обратным преобразование Лапласа (L-1-преобразованием) устанавливающим связь между изображением F(S) и ему соответствующим оригиналом f(t):
, t0. (2)
где C=ReS
Во многих случаях при нахождении решения f(t) можно избежать непосредственного вычисления этого интеграла, воспользовавшись таблицей соответствий “оригинал-изображение”.
Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа, а также их приложения к анализу автоматических систем
Рассмотрим функцию f(t) вещественной переменной t удовлетворяющую следующим условиям:
-
Функция f(t) непрерывна для всех значений t0. Непрерывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, являющихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек должно быть конечно на любом интервале ограниченной длины.
-
Функция f(t)=0 для значений t<0.
-
Функция f(t) имеет ограниченный отрезок возрастания, т.е. можно указать такие постоянные числа M>0 и C00, при которых выполняется неравенство
, (t>0)
Число С0 является показателем роста f(t)
Функция f(t) удовлетворяющая условиям 13, называется оригиналом. Многие функции, встречающиеся при описании процессов в САР, являются оригиналами.
Например,
, , , , , и ряд других.
Если хотя бы одно из условий не выполняется, функция f(t) не будет являться оригиналом. Согласно 1-му условию не могут обращаться в бесконечность при 0t<, поэтому не являются оригиналом функции , . Не является оригиналом и , поскольку нарушает условие 3, т.к. возрастает быстрее, чем .
Интеграл в правой части (1) называется интегралом Лапласа. Этот несобственный интеграл по определению равен
,
причем E+0 означает правый предельный переход.
Примеры нахождения изображений:
1. Найти изображение единичной ступенчатой функции
Учитывая (1) при ReS>0, S=C+j - комплексная переменная, имеем т.е. .
Абсцисса абсолютной сходимости (показатель роста функции f(t)) C0=0.
2. Найти изображение функции f(t)=1(t)et , где - действительное или комплексное число. (На рисунке изображена усеченная экспонента при действительном <0.)
Имеем .
При Re(S-)>0, т.е. при ReS>Re, интеграл
, т.е. .
Для рассматриваемой функции абсцисса абсолютной сходимости С0=Re. При ReS>Re изображение всюду определено и является аналитической функцией.
3. Найти изображение функции f(t)=t .
Интегрируя по частям, получим при ReS>0
.
Повторным интегрированием по частям легко показать, что
,
где n0 целое число.
Формула (2) называется формулой обращения. Следует подчеркнуть, что формула (2) определяет оригинал только в точках его непрерывности. Однако оригинал может иметь точки разрыва непрерывности первого рода. Можно показать, что в точках t разрыва непрерывности оригинала имеем
.
Следовательно, формула обращения определяет оригинал f(t) по изображению F(S) с точностью до значений в точках разрыва. Оригиналу всегда соответствует единственное изображение, которое может быть определено по (1), т.к. значения оригинала в точках разрыва непрерывности не изменяют вида изображения. Однако одному и тому же изображению можно поставить в соответствие множество оригиналов, значения которых отличаются друг от друга в точках разрыва непрерывности.
Если f(t) является дифференцируемой всюду в интервале 0<t<, то оригинал по заданному изображению определяется однозначно.
Следующая теорема устанавливает достаточные условия, при выполнении которых функция F(S) является изображением.
Если функция F(S) аналитична в полуплоскости ReS>C0, стремится к нулю при S в любой полуплоскости ReSC>C0 равномерно относительно argS и интеграл абсолютно сходится, то F(S) является изображением функции
(без доказательства).
Из теоремы ясно, что не все функции F(s) комплексного переменного s могут быть изображениями. В частности не являются изображениями периодические функции, например, вида , Cos(s), Sin(s) несмотря на то, что эти функции являются аналитическими по всей плоскости S.