Методы анализа и синтеза сар Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования

САР разнообразны по своему назначению и конструктивному исполнению. Их поведение может описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями, в частных производных, разностными и т.д. Рассмотрим методику составления уравнений для непрерывных систем с сосредоточенными параметрами, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Любая САР представляет собой совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений САР является разделение системы на отдельные элементы и составление дифференциальных уравнений этих элементов. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процессы в системе регулирования, т.е. изменение во времени всех координат системы. Зная уравнения элементов и уравнения связей, можно составить структурную схему САР.

Структурная схема САР характеризует геометрию системы, т.е. показывает, из каких элементов состоит САР и как эти элементы связаны между собой. На ней указывают пути распространения сигналов. Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных (обобщенных координат). Ими могут быть как электрические, так и механические величины. Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе и одну на выходе. Как и ранее обозначим входную величину g(t) , а выходную – x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, т.к. система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторную входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных величин САР.

При составлении дифференциальных уравнений САР основной задачей является получение дифференциальных уравнений отдельных элементов системы. Они составляются на основе тех физических законов, которые характеризуют поведение элемента. Это могут быть законы оптики, механики, электромеханики и т.д. Уравнения могут быть алгебраическими, интегральными, но чаще дифференциальными. Надо стремиться возможно точнее описать поведение элемента. Но сложность получаемых уравнений затрудняет исследовать свойства их решений. Компромисс.

В установившемся режиме зависимость выходной величины от входной задается статической характеристикой элемента. Как правило, они нелинейны. Статические характеристики могут быть получены из дифференциальных уравнений элементов.

Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение элемента имеет вид

(1)

Тогда статическая характеристика этого элемента задается уравнением в неявной форме

(2)

т.е. для ее получения в (1) следует положить x = const и g = const.

Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то элемент называется линейным, а если дифференциальное уравнение не линейно – нелинейным. Из-за нелинейности статических характеристик уравнения элементов САР в большинстве случаев являются нелинейными.

Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решения которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот процесс замены нелинейного уравнения линейным называется линеаризацией. Обычно она производится относительно некоторого установившегося состояния.

Если дифференциальное уравнение элемента не линейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация сводится к замене нелинейной характеристики

некоторой линейной функцией

.

Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов, содержащих отклонение g в степени выше первой.

Геометрически это означает замену кривой касательной в точке (x0, g0), соответствующей установившемуся режиму работы.

В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции в требуемом диапазоне изменения входной величины. Назовем нелинейные статические характеристики, линеаризуемые в требуемом диапазоне указанным способом, несущественно нелинейными характеристиками. Наряду с ними имеются и такие, которые не поддаются такой линеаризации. Такие характеристики будем называть существенно нелинейными.

Их аппроксимация прямой линией с постоянным углом наклона может привести к существенному искажению представлений о процессе, происходящем в системе.

Рассмотрим подробнее процесс линеаризации нелинейного уравнения с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение элемента описывается уравнением (1). Тогда установившееся состояние характеризуется уравнением (2). Пусть g0 и x0 – значения установившегося состояния. Тогда координаты g и x можно записать в виде

,

где g и x – отклонения координат g и x от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях

(3)

Разложим левую часть (3) в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния (0,0,x0,g0):

(4)

В левой части (4) не выписаны члены, содержащие отклонения g и x и их производные в степени выше первой. Частные производные представляют собой числа, величины которых зависят от вида F и значений координат x0 и g0.

Считая отклонения g и x и их производные малыми и полагая, что F достаточно гладкая по всем аргументам в окрестности точки, отбросим в (4) все члены, которые содержат отклонения g и x и их производные в степени выше первой. Полученное уравнение

(5)

является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами , и т.д. и представляет собой результат линеаризации уравнения (1).

Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F в окрестности точки установившегося режима. Оно заменяет (1) лишь в малой окрестности точки (0,0,x0,g0). Величина окрестности зависит от гладкости F в этой точке.

Окончательно можно переписать

, (6)

где , , ,

Процесс линеаризации (1) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных x, x, x, g уравнение (1)задает некоторую поверхность. Переход к (5) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке установившегося состояния.

Возможна иная линеаризация (1), которая состоит в замене поверхности некоторой секущей плоскостью с уравнением

, (7)

где , выбираются из условия лучшего приближения в заданной окрестности режимов работы.

Пример. Составить дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока независимого возбуждения и провести его линеаризацию.

(8)

Пусть Mg =M(,u), а Mc =Mc(,t). Эти зависимости обычно задаются аналитически или в виде графиков и определяются типом двигателя, характером нагрузки и т.д.

Момент двигателя и сопротивление являются нелинейными функциями . Поэтому уравнение (8) нелинейное. Для линеаризации перейдем к уравнению в отклонениях от установившегося режима. Параметры установившегося состояния находим по графикам при Mg0 = Mc0. Пусть эти параметры 0 и u0.

Разложим нелинейные функции Mg = Mg(,u) и Mc = Mc(,t) в ряд Тейлора в окрестности точки (0,u0).

;

,

где ; - учитывает зависимость момента сопротивления оси времени t;

R1 и R2 – члены порядка малости выше первого.

Подставив в (8) и отбросив R1 и R2, получим

Или

Члены уравнения имеют размерность момента. При исследовании САР желательно получить уравнения в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффициентами, имеющими размерность времени в степени, равной порядку производной, при которой они стоят.

Разделим обе части на номинальное значение момента.

Перейдем к относительным единицам. Выберем некоторые постоянные значения для всех переменных, входящих в уравнение. Для   н – номинальное значение. u  umax – максимальное значение. Получим (умножив и разделив на соответствующую величину)

Обозначим

; ;

и учитывая, что ; , найдем

обозначив , получим

В уравнении f(t) – возмущающее воздействие,

g(t) – управляющее воздействие,

x – выходная координата,

T – постоянная времени двигателя [с]

Отношение характеризует зависимость между изменением выходной координаты x от управляющего воздействия g и называется коэффициентом передачи по управлению.

С целью сокращения выкладок в ТАРе широко используют символический метод записи линейных дифференциальных уравнений, в основе которого лежит условное (символическое) обозначение производных и интеграла

и , где - символ дифференцирования.

Его не следует путать с комплексной переменной, функционирующей в преобразовании Лапласа. В отличие от преобразования Лапласа (и родственных ему операционных методов) символический метод, сокращая и унифицируя запись дифференциальных уравнений и их систем, не содержит никаких приемов, облегчающих их решение.

В операторной форме линейное дифференциальное уравнение (6) запишется в виде

, (*)

где ; M(P)=b1

В общем случае D(P) и M(P) являются многочленами от P с действительными коэффициентами.

Назовем D(P) в уравнении (*) собственным оператором элемента, M(P) – входным оператором. Название собственный оператор обусловлено тем, что многочлен D(P) характеризует собственное движение элемента, т.е. его движение при отсутствии внешних возмущающих и управляющих воздействий.