Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Применение определенного интеграла для вычисления площадей.

2. Вычисление длины дуги.

3. Вычисление объемов.

4. Вычисление площади поверхности вращения.

5. Приложения определенного интеграла к решению задач естествознания.

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

3. Разберите с преподавателем вопросы, которые остались Вами не понятыми по теме этого занятия.

Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома. В тетради для индивидуальных домашних заданий выполните ИДЗ №3 по теме «Основные методы интегрирования. Приложения определенного интеграла» и сдайте на следующем занятии выполненное задание на проверку преподавателю.

Рекомендуемая литература

[1] глава 9 пп 9.10 - 9.11.

[4] глава X §§ 3 – 9.

[5] глава 8 §§ 45 – 46.

[6] часть III занятия 15 – 16.

[7] глава 5 § 5.6.

[8] глава 8 § 10.

[9] глава VIII §10.

[10] глава 6 § 11.

Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями

1. Подготовьтесь к самостоятельной работе №4 по теме «Определенный интеграл». Примерный вариант можете найти в программе дисциплины.

2. Что называется площадью плоской фигуры? 3. Как найти площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла?

4. Дайте определение полярной системы координат. Установите формулы, связывающие полярные и прямоугольные координаты точки.

5. Запишите формулу для вычисления площади плоской фигуры в полярных координатах.

5. Что называется объемом тела? Как найти объем тела вращения?

7. Что называется длиной дуги?

8. Как найти длину дуги: если функция задана:

а) в декартовых координатах?

б) в полярных координатах?

в) параметрически?

9. Какие еще приложения определенных интегралов Вы знаете?

10. Разберите примеры решения типовых задач в тетради.

Примеры решения типовых задач

1. Вычислите площадь, ограниченную параболами и

Решение. Определим точки пересечения парабол и построим эти параболы: отсюда, - абсциссы точек пересечения.

Ординаты точек пересечения находим, подставляя найденные абсциссы в уравнение одной из парабол: и - точки пересечения парабол.

Из рисунка видим, что площадь искомой фигуры

Площадь ОВD расположена под осью , поэтому перед знаком интеграла берем знак «минус».

Отсюда

2. Найдите площадь одного лепестка кривой

Решение. Один лепесток кривой получаем при изменении от 0 до . По формуле вычисления площади в полярных координатах имеем

Применяя формулы тригонометрии, имеем:

Отсюда

3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды , прямой вокруг оси

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением кривой вокруг оси , определяется формулой:

4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси плоский фигуры, ограниченной аркой циклоиды

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением кривой вокруг оси:

Пользуясь данными параметрическими уравнениями циклоиды, преобразуем интеграл к переменной тогда при при

Тогда

5. Найдите длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки

Решение. Для вычисления длины дуги в прямоугольной декартовой системе координат воспользуемся формулой:

Разрешим данное уравнение кривой относительно и находим

(Знаки в выражении указывают ,что кривая симметрична относительно оси ).

Тогда

6. Найдите длину астроиды

Решение. Длина дуги кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

где .

Найдем и

Учитывая симметричность астроиды, найдем длину ее дуги при изменении от 0 до (длина дуги, расположенной в 1 четверти). Тогда длина всей дуги

7. Скорость роста некоторой популяции микроорганизмов подчинена закону где время в секундах. Найдите численность этой популяции в момент времени , если численность этой популяции в момент времени 30с была 100000 единиц.

Решение. Так как скорость роста популяции является производной от численности популяции , следовательно, численность популяции является первообразной для . Поэтому

или

Тогда