Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
-
Какие задачи, приводящие к понятию производной, Вам известны?
-
Дайте определение производной функции в точке.
-
Как найти производную функции y=f(x) по определению?
-
В чем состоит механический смысл производной?
-
Дайте определение непрерывной функции в точке и на отрезке. Сформулируйте свойства непрерывных функций.
-
Как связаны между собой дифференцируемость функции в некоторой точке с непрерывностью функции в этой точке?
-
Приведите пример непрерывной функции, не имеющей производной в некоторой точке.
-
Чему равна производная:
а) постоянной; б) алгебраической суммы дифференцируемых функций;
в) произведения двух дифференцируемых функций; г) дроби; д) сложной функции; е) обратной функции?
10. Запишите формулы для нахождения производных основных элементарных функций.
Примеры решения типовых задач
-
Пользуясь определением производной найдите производные функций:
а)
; б)
.
Решение:
а)
По определению производной
.
Поэтому для нахождения производной по определению можно воспользоваться следующим общим правилом.
-
Придаем аргументу х произвольное приращение
и находим приращенное значение функции:
.
-
Находим приращение функции:
-
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
-
Ищем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
.
.
Таким образом,
.
б)
Руководствуясь указанным общим правилом
для нахождения производной по определению,
для функции
последовательно
находим:
-
. -
.
-
. -
2.
Дана функция
.
Существует ли производная в точке х=0?
Будет ли эта функция в точке х=0 непрерывной?
Решение:
Воспользуемся общим правилом для нахождения производной в точке х=0 по определению:
-
. -
. -
. -
.
Этот
предел не существует. Таким образом,
функция
в точке х=0 не имеет производной.
Исследуем данную функцию на непрерывность в точке х=0:
Так как бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то данная функция непрерывна в точке х=0.
Таким образом, данная функция непрерывна в точке х=0, но не имеет производной в этой точке.
-
Применяя правила дифференцирования и таблицу производных, найдите производные следующих функций:
а)
; б)
.
Решение:
а) Преобразуем данную функцию, переходя к дробным показателям, и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
.
б) I способ. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: сначала находим производную логарифмической функции, затем корня и наконец производную дроби:
II способ. Чтобы упростить дифференцирование, сначала преобразуем функцию на основании свойств логарифмов:
.
Тогда
.
Замечание. Вообще, если под знаком подлежащей дифференцированию логарифмической функции содержится выражение, поддающееся логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), то полезно сначала выполнить логарифмирование.
Практические задания
для развития и контроля владения компетенциями
Задания, решаемые в аудитории
1. Пользуясь определением производной найдите производные от следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Дана функция:
.
Найдите производную этой функции в
точке х = 0.
3. Найдите производные следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
4.
Вычислите
,
если
.
5. Покажите, что
,
.
Задания для самостоятельной работы дома
1. Пользуясь определением производной найдите производные от следующих функций:
;
;
.
2. Найдите производные следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
3. Вычислите
,
если
.
Лабораторное занятие №4
Тема занятия «Применение производной к исследованию функций.
Построение графиков функций»
Цель занятия: Показать возможность применения аппарата дифференциального исчисления к исследованию функций и построения их графиков.
Организационная форма занятия: практикум с применением возможностей интерактивной доски.
Компетенции, формируемые на занятии:
-
способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).
При формировании этой компетенции в результате изучения дисциплины «Математика» специалист должен уметь решать задачи математического анализа: исследовать функции, опираясь на аппарат дифференциального исчисления, и строить их графики. Формирование у будущих специалистов этой компетенций на занятии предполагает обучение студентов
- сформулировать основные цели выполняемой работы;
- анализировать ситуации и делать выводы;
- абстрагировать содержание и выделять существенное;
- осуществлять самоконтроль за работой, объективно оценивать ее результат.