4.2. Стационарная фильтрация упругой капельной жидкости в недеформируемой пористой среде
Установим зависимость объемного веса от давления, т. е. g=g(P). Очевидно, для сжимаемой жидкости при увеличении давления на dP объемный вес повышается на dg. В дифференциальной форме это запишется в виде
(4.9)
где К0=10¸20 тыс. атм. — модуль упругости сжатия жидкости. К0 является переменной величиной и зависит от давления.
Зависимость g=g(P) в небольшом диапазоне изменения давления можно аппроксимировать как линейную, параболическую и экспоненциальную.
Полагая К0=сonst и интегрируя (4.9), получаем:
;
,
где g0 и g соответствуют начальному Р0 и текущему Р давлениям.
Исключая постоянную, получаем
или
.
(4.10)
Здесь
— коэффициент
сжимаемости жидкости.
Таким образом, установили, что объемный вес жидкости в зависимости от давления изменяется по экспоненциальному закону.
Разложим функцию (4.10) в ряд Маклорена:
.
Удерживая первые два члена разложения, находим
.
(4.11)
Перепишем (4.11) в другой форме:
.
(4.12)
Как видим, в приближенной постановке зависимость g=g(P) удовлетворяет закону Гука. Пользуясь формулами (4.10) и (4.11), найдем точное и приближенное значение функции Лейбензона:
или
;
(4.13)
.
(4.14)
Обычно
для капельной жидкости величина
.
Тогда можно приближенно записать
.
(4.15)
Нетрудно
заметить, что формула (4.15) может быть
получена также интегрированием (4.6) при
(
соответствует
начальному давлению P0).
Отсюда следует вывод, что если жидкость малосжимаема, т. е. g»g0=const, и сжимаемостью можно пренебречь, то при обычных значениях К0 и (P – P0) стационарное движение сжимаемой жидкости можно рассчитывать по формулам для несжимаемой жидкости объемного веса g0. При этом погрешность в определении весового расхода будет определяться третьим членом в разложении Маклорена.
4.3. Стационарная фильтрация газа
Как известно, для реальных газов уравнение состояния g =g(Р, Т) берется в виде
(4.16)
Здесь
— коэффициент сверхсжимаемости
газа, определяется по эмпирическим
формулам или графикам; Ркр,
Ткр — критическое
давление и температура. Функция Лейбензона
с учетом (4.16) запишется в виде
(4.17)
Интеграл в функции (4.17) приходится определять численным путем.
Если давление меняется несущественно, то можно принять Z»Zср в пределах изменения давления. Тогда из (4.17) следует:
.
(4.18)
Для идеального газа (Z=1) имеем
.
(4.19)
Тогда функция Лейбензона принимает вид
.
(4.20)
4.3.1. Приток к галерее; распределение давления. Для простоты рассмотрим приток идеального газа вязкости m=const в пласте постоянного сечения f и проницаемости K=const. Пусть Рк и Рг – давления на контуре питания и галереи соответственно (рис. 4.1). Требуется определить расход газа и распределение давления вдоль пласта.
Рис. 4.1. Схема распределения давления при притоке