Проницаемостей при вытеснении нефти водой и газом

s - насыщенность вытесняющей фазы; (s) - для вытесняющей жидкости; (s) - для вытесняемой жидкости; пунктир относится к случаю, когда вытесняющей фазой является газ

Уравнение (6.2.9) квазилиненйное дифференциальное первого порядка в частных производных, решаемое обычно методом характеристик [3]. Выпишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению (6.29)

(6.31)

Первые интегралы данной системы записываются в виде:

, (6.32)

Отсюда следует, что при t=0 расстояние х=х(,0)=С₂ – начальное распределение насыщенности. Тогда решением уравнения (6.29) будет

(6.33)

Уравнение (6.33) есть уравнение распределения насыщенности вдоль пласта. Уравнение (6.33) не применимо для плоскорадиального движения (рис.6.8), хотя функции (σ) и остаются теми же, но в которых необходимо для строгого решения использовать относительные фазовые проницаемости K₁^*() и K₂^*() по экспериментальным данным для плоскорадиального вытеснения (см. рис. 6.8). Такие эксперименты к сожалению отсутствуют.

Однако в рамках теории Бакли-Леверетта уравнение плоскорадиального вытеснения нетрудно получить из уравнения И.А.Чарного (IХ.4.1[5]) для трубки тока переменного сечения S(х)=2πrh. В конечном счете получаем уравнение

(6.33)'

Рис.6.7.Типовые кривые относительных проницаемостей при вытеснении нефти вводой и газом

Рис.6.8. Схема плоскорадиального притока к скважине

где r₀(π, 0) – начальный контур нефтеносности, q=соnst – удельный расход. Из сравнения (6.33) и (6.33)' видим, что для плоскорадиального вытеснения насыщенность распределяется по квадратичному закону.

В работе [5] приведены следующие эмпирические приближенные формулы, полученные Чень Чжун-сяном по осредненным экспериментальным данным:для воды и нефти (s — водонасыщенность)

(6.34)

для газа и воды (s — газонасыщенность)

(6.35)

Имеются и другие эмпирические зависимости. Для газированной

жидкости С. А. Ахмедов принимает эти зависимости по Викофу-Ботсету [24]:

(6.36)

где s — насыщенность жидкостью.

В этой работе утверждается, что для газированной жидкости насыщенность жидкой фазой на контуре пласта при Р_к=const составляет s_к» 0,99, которая вдоль пласта (r<R_к) практически не изменяется и только вблизи забоя она резко падает. При фильтрации же газоконденсатных смесей s_к» 0,4. По мере приближения потока к скважине насыщенность жидкостью увеличивается. При этом содержание тяжелых компонентов (С₃Р₈+С_7+выс) уменьшается, а легких (N₂, CO₂, СН₄, С₂Н₆) — увеличивается. Особенно резкое изменение в составе смеси проявляется в области низких давлений. Таким образом, состав исходной пластовой смеси, фазовые соотношения и вид кривых фазовых проницаемостей являются основными характеристиками стационарной фильтрации.

В.В. Мустафаев [25] приводит другие зависимости для фильтрации газированной жидкости как функции насыщенности жидкостью s

(6.37)

В работе А.К. Курбанова и И.Ф. Куранова [26] предлагаются следующие эмпирические зависимости:

(6.38)

(6.39)

где

 — для несмачиваемой жидкости;

 — для смачиваемой жидкости;

s — насыщенность вытесняющей жидкостью (водой).

Используя зависимости (6.34), (6.35) и (6.37) из уравнения (6.28) получаем:

для вытеснения нефти водой

(6.40)

для вытеснения газа водой

(6.41)

для фильтрации газированной жидкости доля газа в потоке при пластовых условиях

(6.42)

Функцию f(s) можно выразить также через экспоненциальную зависимость [27]

, (6.43)

где константы а и b можно определить при совместном решении двух уравнений вида (6.43), составленных для двух значений водонасыщенности s. Например, для s=0,3 и s=0,7 имеем:

(6.44)

Значения определяются по соответствующим формулам (6.34)-(6.39). Подставляя (6.43) в (6.23) получаем

(6.45)

Заметим, формулы (6.23) и (6.45) выражают долю вытесняющей жидкости (водонефтяной фактор) из суммарного дебита скважины, приведеного к пластовым условиям, т. е.

(6.46)

Если же выразить через функцию Бакли-Леверетта долю добываемой нефти как отношение

(6.47)

тогда формула (6.45) запишется в виде

(6.48)

При использовании формулы (6.24) производные относительных фазовых проницаемостей определяются для каждого фиксированного значения насыщенности s по углу наклона касательной в данной точке к кривой относительной фазовой проницаемости. Этот метод требует весьма аккуратного и точного построения и отсчета, что весьма затруднительно. Возможен другой метод определения искомых – опять же метод касательной при использовании графической зависимости функции f(s). Недостаток остается прежним. Лучше использовать полуэмпирические зависимости (6.45) и (6.48). Взяв их производные по насыщенности, с учетом (6.43) получаем:

, (6.49)

. (6.50)

Определение средней насыщенности водой за фронтом и s_ф на фронте вытеснения с учетом погребенной воды может быть произведено также по формулам [28, 29].

(6.51)

(6.52)

Скорость движения воды при линейном вытеснении есть

(6.53)

Скорость движения воды при плоско-радиальном вытеснении определяется формулой

(6.54)

Время движения контура от начального положения до скважины определяется интегралом

(6.55)

6.7.3. Вытеснение одной жидкости другой с учетом капиллярного давления и массовых сил. Рассмотрим двухфазную фильтрацию нефти и воды с учетом капиллярных и массовых сил в трубке тока переменного сечения (см. рис. 1.5).

(6.56)

(6.57)

Используя (6.56) и (6.57) и вводя капиллярный скачок Р_к(s)=Р_в–Р_н, находим долю воды от суммарного расхода воды и нефти (q_ж=q_в+q_н):

(6.58)

где

α – угол наклона пласта к горизонту;

F(S) – площадь фильтрации;

s – водонасыщенность;

S – координата.

Заменяя в уравнении (6.58)

, (6.59)

получаем обобщенную функцию Бакли-Леверетта

(6.60)

Здесь  – производная экспериментальной функции насыщенности Леверетта [5]. Для линейного вытеснения принимаются S=x и F(S)=Вh , для плоскорадиального – S=r и F(S)=2πrh (В – ширина галереи, h – толщина пласта); при r=r_c получаем постоянство функции (6.60). Производная насыщенности dσ/dx может быть определена графически по зависимости σ=f(S), построенной по известному уравнению Бакли-Леверетта (6.33), определяется уравнением (6.33)'.

Если пренебречь капиллярными силами [] и ввести функцию (6.28) тогда из (6.60) имеем:

(6.61)

Распределения насыщенности вдоль пласта при S=х, х(σ,0)=0 и F(S)=Bh, согласно уравнениям (6.33) и (6.61), для линейного вытеснения и при х=r и F(S)=2πrh, согласно уравнениям (6.33)' и (6.61), запишутся соответственно:

и (6.62)

При σ=σ_Ф получим расстояние от контура питания до фронта вытеснения.

Производная функции (6.61) по s есть

(6.63)

где

(6.64)

Функции и могут быть определены по формулам (6.28) и (6.3 0) или (6.40) и (6.49).

Производные относительных фазовых проницаемостей, взятые по формулам (6.34), есть:

(6.65)

(6.66)

Анализируя формулу (6.61), можно сделать вывод, что существенное влияние угол наклона a окажет в случае малой вязкости нефти, высокой проницаемости и небольших скоростей фильтрации. При этом будет выполняться условие . Поскольку капиллярные силы действуют в противоположном направлении силам тяжести, формула (6.60), то они до некоторой степени будут взаимно поглощаться. Для горизонтального пласта капиллярное давление Р_к(s) будет снижать значение функции . Следовательно, будет выполняться условие .

Экспериментальная функция насыщенности Леверетта определяется формулой [5]

(6.67)

где

a – коэффициент межфазного натяжения, кгс/см;

т – коэффициент пористости, д. ед.;

K – коэффициент абсолютной проницаемости, см²;

Q – статический краевой угол смачивания;

J(s) – безразмерная функция водонасыщенности s, определяемая по графическим зависимостям (рис. 6.9).

Кривая 1 относится к впитыванию жидкости в породу, кривая 2 – к дренированию жидкости под действием силы тяжести. Вид кривых указывает на гистерезисный характер капиллярных явлений в пористых средах.

Взаимное торможение жидкостей, согласно которому относительные фазовые проницаемости не равны соответствующим насыщенностям, обусловлено, как считает И.А. Чарный [5], в первую очередь капиллярным эффектом. В расчетах часто капиллярным скачкам пренебрегают, принимая Р_к (s)=0. В этом случае капиллярность учитывается косвенно самим видом опытных кривых и .

Рис. 6.9. Графические зависимости функции Леверетта J(σ)

(Кр.1 – относится к впитыванию; Кр.2 – относится к дренированию)

6.7.4. Расчет фронтальной и средней насыщенности в зоне вытеснения одной жидкости другой в соответствии с линейной моделью Бакли-Леверетта. Как известно, согласно теории Бакли-Леверетта для расчета насыщенности вытесняющей жидкости на фронте вытеснения s_ф и средней насыщенности ее s_ср, в зоне вытеснения необходимо знать значения относительных фазовых проницаемостей, которые обычно определяются экспериментальным путем на кернах, функцию Бакли-Леверетта f(s) и ее производную по насыщенности . Тогда расчет можно произвести по формулам [5]:

(6.68)

В разделе 6.7.2 приведены эмпирические зависимости для относительных фазовых проницаемостей при вытеснении нефти водой и газа водой (Чен Чжун-Сян), при вытеснении нефти водой (А.К. Курбанов и И.Ф. Куранов), при фильтрации газированной жидкости (нефть – газ) (С.А. Ахметов, В.В. Мустафаев).

В работе Douglas J. and others (Trans. FJME, V. 213, 1958) приводятся другие эмпирические зависимости для вытеснения нефти водой:

(6.69)

где s – насыщенность нефтью.

В известных монографиях указывается способ определения s_ф и s_ср методом касательной к построенной функции Бакли-Леверетта f (s) в зависимости от насыщенности s для фиксированного значения m₀ (рис. 6.10).

Рис. 6.10. К определению фронтальной s_ф и средней s_ср