Плоские задачи теории фильтрации

1. Физические основы теории фильтрации, основные понятия. Закон дарси

Движение жидкости через пористую среду принято называть фильтрацией. Подземная гидрогазодинамика изучает законы движения жидкостей и газов через пористую среду. Чтобы познать эти законы, необходимо иметь правильные представления и понятия о «пористой среде» и «порах».

Под пористой средой, в широком смысле слова, следует понимать материальное тело, содержащее пустоты. Однако понятие «пористая среда» нуждается в более точном определении. Например, полый металлический цилиндр не считают пористым материалом, хотя в нем и есть пустота. Таким образом, одной из основных характеристик пористой среды является наличие большого количества пустот. В свете этого мы можем называть пористыми материалами: кусок хлеба, войлок, пемзу, известняк, породу, сложенную из песчинок, кусок ваты, емкость с гравием или песком и т. д. Следовательно, существуют пористые среды искусственные и естественные.

Упомянутые пустоты могут быть заполнены (как искусственным, так и естественным путем) жидкостями и газами. Если в таких материалах создать градиент напора, то начнется движение жидкости или газа в направлении от большего напора к меньшему. Исходя из поведения жидкости, пустоты можно подразделить на три основные группы: самые маленькие пустоты, т. к. капиллярные и субкапиллярные образуют молекулярные поры, где силы молекулярного взаимодействия между жидкостью и твердыми частицами очень велики; большие пустоты, например, в трещиноватых известняках, образуют каверны. Молекулярные взаимодействия здесь слабы; пустоты, средние между первыми двумя по размерам, называются просто порами.

Пористая среда может иметь и двойную пористость. Например, некоторые породы, сложенные трещиноватым известняком, имеют трещиноватую пористость и самую пористость.

Поры могут быть сообщающимися и несообщающимися. Первые образуют эффективное поровое пространство, вторые – общее поровое пространство. Пористые материалы по их структуре разделяют также на упорядоченные и неупорядоченные. Примером упорядоченной пористой среды может служить так называемый фиктивный грунт Слихтера, составленный из одинаковых шариков при правильной укладке. Причем величина пористости зависит не от размера шариков, а от способа укладки (рис. 1.1). В большинстве естественных и искусственных пористых сред поры распределены беспорядочно. Поэтому структура таких тел может быть описана только статистически. Таким образом, пористая среда характеризуется рядом геометрических свойств.

а) б)

Рис. 1.1. Схема укладки фиктивного грунта

(а – наибольшая пористость: б – наименьшая пористость)

1. Геометрические характеристики пористой среды

Пористость. Пористость понимается как общая и как эффективная. Коэффициент общей пористости – это отношение объема всех пор (V_п) к общему объему образца (V₀), т. е.

(1.1)

Коэффициент эффективной пористости – это отношение сообщающихся между собой пор (V_пc) к объему образца (V₀), т. е.

(1.2)

На практике в промысловых условиях используют такую характеристику как средняя пористость продуктивного пласта по всей залежи или по отдельному участку, которая определяется по следующим формулам.

Среднеарифметический коэффициент пористости

(1.3)

Коэффициент пористости, средневзвешенный по площади h₁,

(1.4)

Коэффициент пористости, средневзвешенный по объему,

(1.5)

Коэффициент пористости, средневзвешенный по площади А_i,

(1.6)

Здесь i=1, 2, 3, ... , п – число скважин, в которых определялась пористость тем или иным методом (по керновому анализу, по данным гидродинамических и геофизических исследований и т. д.). Наиболее точным из указанных методов считается метод определения коэффициента пористости, средневзвешенного по объему. Коэффициент динамической пористости определяется формулой

(1.7)

– объем пор, где имеет место фильтрация.

Удельная поверхность – это отношение площади внутренних поверхностей (F) пор к единице объема материала (V), т. е.

(1.8)

Ясно, что для материалов с мелкозернистой структурой удельная поверхность намного больше, чем для материалов с крупнозернистой структурой. Этот параметр является весьма важным при характеристике способности пористой среды пропускать через себя жидкости и газы. В количественном отношении удельная поверхность – величина значительная. Так, удельная поверхность в 1 м³ песка составляет S=10 тыс. м².

Эффективный диаметр частицы грунта. В определении размера пор удобной мерой был бы диаметр пор. Однако этот термин имеет геометрический смысл только для среды, поры которой сферической формы, чего в природе не существует. Были попытки представить пористую среду, сложенную из трубок, параллельных друг другу. Эта попытка также не дала эффекта. Наиболее подходящей характеристикой среды оказался так называемый эффективный диаметр частиц, который определяется механическим анализом. В результате получают кривую фракционного состава (рис. 1.2), по которой и определяют средний эффективный диаметр частиц, используя формулу

(1.9)

где

d_i – средний диаметр i фракции;

п – число частиц фракции.

Этот диаметр является важной, но не исчерпывающей характеристикой, поскольку он дает представление только о размере зерна, но не учитывает шероховатости, схему укладки, извилистость и т. д.

Рис. 1.2. Кривая механического анализа естественного грунта

(W – весовое количество фракций зерен диаметра d_i)

Извилистость является в большей степени кинематической характеристикой, которая представляет относительную среднюю длину пути, пройденного жидкой частицей от стенки к стенке в поровом пространстве. Однако и этот параметр остается под сомнением.

Характерный размер l пористой среды или масштаб породы, который определяется приближенно как

(1.10)

где – коэффициент, зависящий от структуры пористой среды, извилистости и т. д. Методы определения и измерения указанных геометрических характеристик описываются в курсе физики плата.