§10. Обратная функция.

Пусть функция отображает множество X на множество Y. Тогда каждому элементу ставится в соответствие один и только один элемент и каждый элемент является образом некоторого элемента .

В общем случае различным элементам может соответствовать один и тот же элемент . Если же в отображении оказывается, что каждый элемент ставится в соответствие одному и только одному элементу то говорят, что между элементами множеств X и Y установлено взаимно однозначное соответствие. Следовательно, при взаимно однозначном соответствии мы имеем отображение множества X на множество Y, при котором различным элементам множества X отвечают различные элементы множества Y. При этом, очевидно, можно говорить об отображении множества Y на множество X, при котором каждому элементу ставится в соответствие единственное такое, что y является образом x в отображении . В этом случае функцию называют обратимой, а функцию - обратной функцией по отношению к функции и обозначают .

Для действительной функции действительной переменной обратная функция будет, очевидно, также действительной функцией действительной переменной.

Так как для функции обратной будет функция , то функции называют взаимно обратными. При этом одну из них (любую) называют прямой функцией, а другую – ей обратной.

Ясно, что для взаимно обратных функций справедливы соотношения и, которые можно принять за определение обратной функции.

Легко видеть, что отыскание аналитического выражения обратной функции сводится к решению уравнения вида относительно x. Например, для функции обратной будет функция .

Рассмотрим вопрос о графике обратной функции в случае действительных функций действительной переменной. Прямая функция и ей обратная функция выражают один и тот же закон соответствия между множествами X и Y. Поэтому их графики совпадают. Если же обратную функцию представить в обычно принятых обозначениях (аргумент обозначить через x, а функцию через y, т.е. в виде , то график обратной функции будет симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, так как оси Ox и Oy меняются местами (рис.12). Графики прямой функции и ей обратной функции изображены на рис.13.

Отметим еще, что если для прямой функции областью определения является множество X, а множеством значений Y, то для обратной функции областью определения будет множество Y, а множеством значений – X. Очевидно, что не всякая функция имеет обратную.

Рис.12 Рис. 13

Лекция 7

§11. Числовые последовательности..

Определение. Функции (отображения), для которых областью определения является множество натуральных чисел называются последовательностями.

Это означает, что каждому по некоторому закону поставлен в соответствие элемент , . Значения последовательности называются ее членами и записываются в порядке роста натурального аргумента (номеров членов): , элемент – общим или ым членом последовательности, а формула - формулой общего члена последовательности.

Если областью значений Y является множество вещественных чисел, то последовательность называется вещественной числовой.

Запишем простые примеры числовых последовательностей:

1. 

2. ,

3. .

Из последнего примера видно, что члены последовательности с различными номерами могут быть одинаковыми. В частности, последовательность, все члены которой одинаковы, называется стационарной.

Так как числовая последовательность есть частный случай действительной переменной, то все понятия, относящиеся к общему случаю, переносятся на числовые последовательности. Так, числовая последовательность называется возрастающей, если и убывающей, если . Аналогично определяются строго возрастающая и строго убывающая числовые последовательности. Так, среди рассмотренных примеров числовых последовательностей последовательность с общим членом строго убывает, а последовательность с общим членом строго возрастает. Как и для действительных функций действительной переменной, определяются понятия ограниченности, границ и граней числовых последовательностей.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел . Из нее можно выделить бесконечным числом способов новую последовательность , где индекс пробегает бесконечную строго возрастающую последовательность натуральных чисел . Последовательность с общим членом называется подпоследовательностью последовательности с общим членом . В частном случае , следовательно, сама последовательность может рассматриваться как подпоследовательность.