§9. Некоторые типы поведения действительных функций действительной переменной. Функции монотонные и кусочно-монотонные.

Определение. Функция , определенная на множестве , называется возрастающей (строго возрастающей) на множестве , если

и убывающей (строго убывающей), если

.

Функция , возрастающая или убывающая (строго возрастающая или строго убывающая) на множестве называется монотонной (строго монотонной).

График монотонных функций на участках строгого возрастания (строгого убывания) характеризуются подъемом (спуском) при росте аргумента.

Например, функция строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, здесь . При независимо от знаков правая часть последнего равенства больше нуля, т.е. , откуда . Примером возрастающей функции является функция (см. рис.7).

Следует отметить, что одна и та же функция на различных участках может вести себя по-разному. Так, функция строго убывает на и строго возрастает на . Такие функции называются кусочно-монотонными. Их область определения обычно распадается на конечное (как ) или бесконечное (как ) множество промежутков строгой монотонности.

Очевидно, единственные функции, одновременно возрастающие и убывающие на множестве – это постоянные на . Ясно, что если функция возрастает (строго возрастает) на множестве , то функция убывает (строго убывает) на множестве .

Легко показать справедливость следующих утверждений:

1. Сумма возрастающих на множестве функций есть функция возрастающая.

2. Композиция двух возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая.

3. Композиция двух функций, одна из которых возрастает, а другая убывает, есть функция убывающая.

Функции четные и нечетные.

Пусть функция определена в области , симметричной относительно начала координат. Такую функцию называют четной, если , и нечетной, если .

Примерами четных функций являются функции , а примерами нечетных функций являются функции

График четной функции симметричен относительно оси ординат, так как вместе с каждой его точкой ему принадлежит и точка (см. рис.8). График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как вместе с каждой его точкой ему принадлежит и точка (см. рис. 9) .

0

Рис.8 Рис.9

Легко показать, что сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная), произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная, а произведение четной и нечетной функции есть функция нечетная.

Конечно, не всякая функция, заданная в области, симметричной относительно начала координат, будет четной или нечетной.

Однако справедлива теорема:

Теорема. Всякая функция с областью определения , симметричной относительно начала координат, представима, и притом единственным образом, в виде суммы четной и нечетной функций, имеющих ту же область определения, что и .

Доказательство. Для всех справедливо равенство:

(1)

где

. (2)

И область определения функций есть . Заменяя в формулах (2) на , получим т.е. - четная, а – нечетная функции. Значит, равенство (1) дает нужное представление функции

Обратно: пусть для всех справедливо равенство: (1), где области определения функций есть множество E и – четная, а – нечетная функции. Тогда для всех имеем:

. (3)

Из равенств (1) и (3), как из системы, получим выражения (2).