- •Дисциплина «Математический анализ»
- •Раздел I. Введение в анализ
- •§1 Понятие множества. Теоретико-множественные отношения и операции. Декартово произведение.
- •Способы задания множеств
- •Теоретико-множественные отношения
- •Подмножества
- •Теоретико-множественные операции
- •§2 Множество действительных чисел.
- •§3. Изображение действительных чисел на прямой.
- •§4. Основные свойства множества действительных чисел.
- •§5. Модуль действительного числа.
- •Модуль действительного числа обладает свойствами:
- •§6. Числовые множества.
- •§7. Функции и их общие свойства.
- •§8. Действительная функция действительной переменной.
- •§9. Некоторые типы поведения действительных функций действительной переменной. Функции монотонные и кусочно-монотонные.
- •Функции четные и нечетные.
- •Периодические функции.
- •Функции ограниченные и неограниченные.
- •§10. Обратная функция.
- •§11. Числовые последовательности..
- •§12. Принцип вложенных отрезков.
- •§13. Бесконечные десятичные дроби.
- •§14. Предельная точка множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§15. Понятие предела числовой последовательности.
- •§16. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •§17. Предел монотонной последовательности. Число «e».
- •§18. Критерий Коши.
- •§19. Верхний и нижний пределы.
- •§20. Понятие предела функции.
- •§21. Основные теоремы о пределах функции в точке
- •§22. Предел функции по множеству. Предел на бесконечности.
- •§23. Первый замечательный предел.
- •§24. Второй замечательный предел.
- •§25. Бесконечно малые функции и их сравнения
- •§26 Бесконечно большие функции
§18. Критерий Коши.
Монотонность и ограниченность числовой последовательности являются достаточным признаком ее сходимости, но, очевидно, не необходимым. Укажем теперь признак, который является одновременно необходимым и достаточным.
Определение. Последовательность называется фундаментальной, если
.
Теорема (критерий Коши). Для того чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть последовательность сходится и . Докажем, что она фундаментальна. Так как последовательность сходится, то . Тогда при , имеем , а это и означает, что последовательность фундаментальна.
2) Достаточность. Пусть последовательность фундаментальна. Докажем, что она сходится. Сначала покажем, что последовательность ограничена. Действительно, из фундаментальности следует, что все члены , начиная с некоторого номера , удовлетворяют условию или, что то же , а поэтому образуют ограниченное множество. По теореме Больцано-Вейерштрасса из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Покажем, что является одновременно и пределом всей последовательности . Так как , то .
Так как последовательность - фундаментальна, то .
Обозначим через . Тогда при имеем , а это и означает, что последовательность сходится.
§19. Верхний и нижний пределы.
Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел . Как было указано, из последовательности можно выделить бесконечным числом способов различные подпоследовательности. Будем рассматривать лишь сходящиеся подпоследовательности последовательности .
Легко показать, что если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность сходится и притом к тому же числу. Действительно, пусть , т.е. .
Рассмотрим любую подпоследовательность последовательности . Так как члены подпоследовательности являются членами последовательности , то при имеем и, следовательно, .
Ясно, что можно привести примеры последовательностей, которые расходятся, но их подпоследовательности сходятся. Например, из расходящейся последовательности можно выделить подпоследовательности и , которые сходятся, соответственно, к числам 0 и 1.
Определение. Число называется верхним (нижним) пределом последовательности действительных чисел , если существует подпоследовательность , сходящаяся к нему, и при этом всякая другая сходящаяся подпоследовательность последовательности сходится к числу не большему (не меньшему), чем .
Верхний и нижний пределы последовательности обозначаются соответственно и .
Так, для последовательности, приведенной выше: .
Последовательность может иметь только один верхний предел, так как если допустить, что и – два таких предела и , то существовала бы подпоследовательность , сходящаяся к, что противоречило бы тому факту, что есть верхний предел.
Для последовательности, неограниченной сверху (снизу), полагают .
Можно доказать, что для любой последовательности (как ограниченной, так и неограниченной) есть верхний и нижний пределы (конечные или бесконечные).
Лекция 11