Теоретико-множественные отношения

Определение 1: Два множества и называются равными, мы пишем , в том и только том случае, если они содержат одни и те же элементы.

Свойства:

1. (рефлексивность)

2. (симметричность)

3. (транзитивность)

Таким образом, отношение равенства есть отношение эквивалентности.

Определение 2: Множество содержится во множестве ( включено в ), мы пишем , когда выполняется следующее условие: если , то .

Свойства:

1. (рефлексивность)

2. (антисимметричность или закон тождества)

3. (транзитивность)

Таким образом, отношение включения есть отношение порядка.

Очевидно, .

Подмножества

Пусть множество определено некоторым набором характеристических свойств. Множество будем называть основным множеством.

Определение 3: Множество называется подмножеством множества , если все элементы из принадлежат . В этом случае также употребляется обозначение .

Очевидно, что является подмножеством тогда и только тогда, когда включено в . Очевидно что и . Подмножества некоторого множества, отличные от него самого и от , называются собственными.

Определение 4: Множеством подмножеств основного множества называется множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества . Это множество включает в качестве элементов пустое множество и само множество ; каждый отдельный элемент множества есть также подмножество множества .

Для обозначения множества подмножеств используется обозначение .

Пример: – три элемента, P(A)={,{a},{b},{c},{a, b}, {b,c},{a, c},{a, b, c }} – 8 элементов.

В общем случае, если множество содержит элементов, то состоит из элементов.

Теоретико-множественные операции

Определение 5: Объединением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и :

.

Объединением произвольного конечного или бесконечного семейства множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств обозначается , объединение последовательности множеств - . Объединение семейства множеств , где индекс пробегает некоторое множество , обозначают или просто .

Определение 6: Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих обоим этим множествам:

.

Если множества и не имеют общих элементов, т.е. , то эти множества называются непересекающимися.

Пересечением произвольного семейства множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих всем этим множествам. Пересечение множеств обозначается , пересечение последовательности множеств – . Пересечение семейства множеств , где индекс пробегает некоторое множество , обозначают или просто .

Непосредственно из определений операций и следуют их

1. идемпотентность ,

;

2. коммутативность ,

;

3. ассоциативность ,

.

Кроме того, операции и взаимно дистрибутивны:

.

Докажем, например, первое из равенств. Имеем:

Второе равенство доказывается аналогично.

Определение 7: Разностью множеств и называется множество всех тех элементов из , которые не принадлежат

.

Определение 8: Симметрической разностью множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат любому одному из множеств, но не принадлежат другому

Очевидно, .

Часто приходится рассматривать тот или иной запас множеств, являющихся подмножествами некоторого основного множества , например, различные множества точек на числовой прямой. В этом случае разность называют дополнением до и обозначают . Иногда в случаях, когда ясно, что рассматриваются только подмножества множества , слова «до » опускаются и пишут .

Пусть . Дополнение инволютивно, т.е.

.

В теории множеств и ее приложениях весьма важную роль играет так называемый принцип двойственности, который основан на следующих двух соотношениях.

1. Дополнение объединений равно пересечению дополнений:

.

2. Дополнение пересечения равно объединению дополнений:

.

Докажем, например, первое из равенств. Имеем:

.

Второе равенство доказывается аналогично.

Принцип двойственности состоит в том, что из любого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного множества , совершенно автоматически может быть получено другое – двойственное – равенство путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, объединений множеств – пересечениями, а пересечений – объединениями.

Определение 9: Последовательность множеств называется возрастающей, если и убывающей, если .

Определение 10: Множество упорядоченных пар элементов, из которых первый принадлежит , а второй – , называется декартовым произведением множеств и и обозначается . Таким образом,

.

Декартовым произведением множеств называется множеством упорядоченных наборов элементов :

.

В частном, .

Лекция 2