§21. Основные теоремы о пределах функции в точке

Определение предела функции по Гейне позволяет все основные теоремы о пределе числовой последовательности перенести на случай предела функции в точке.

Теорема 1. Если функция имеет предел в точке , то он единственный.

Доказательство: Пусть . Это значит, что для любой последовательности из области определения функции, отличных от , сходящейся к точке , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу . Но по теореме о единственности предела числовой последовательности, последовательность имеет единственный предел, а поэтому будет единственным и предел функции в точке .

Аналогично доказываются и следующие теоремы:

Теорема 2. Если функции и имеют пределы в точке , то:

1. Функция имеет предел в точке , равный сумме пределов функций и ;

2. Функция имеет предел в точке , равный произведению пределов функций и .

Если, кроме того, предел функции отличен от нуля, то функция имеет предел в точке равный частному от деления пределов этих функций.

Теорема 3. Если функции и имеют пределы в точке и в некоторой окрестности точки .

Пусть значения функции , определенной на множестве X, входят в область определения функции , которую будем обозначать через .

Теорема. Если функция имеет предел в точке , равный , причем при , а функция имеет предел в точке , равный , то функция имеет предел в точке равный .

Доказательство:

Так как функция имеет предел в точке , равный , то

(13)

Так как функция имеет предел в точке , равный , то

(14).

Из неравенств (13) и (14) следует: или .

Последнее означает, что .

Лекция 12

§22. Предел функции по множеству. Предел на бесконечности.

Пусть функция , определена на множестве X, и пусть точка является предельной точкой для множества E/

Определение 1. Число называется пределом функции в точке по множеству E, если .

Для предела функции по множеству употребляется запись . Если множество E есть окрестность точки , то предел по множеству E есть обычный предел функции в точке, и в записи предела указание на множество опускается. Отметим, что предел функции в точке может не существовать и в то же время предел функции в этой точке по некоторому множеству существует.

Например, для функции Дирихле

Предел не существует ни в одной точке. В то же время пределы этой функции по множеству рациональных точек и по множеству иррациональных точек существуют, причем и.

Особую роль играют пределы функции на бесконечности. Пусть функция определена на множестве X, E и E неограниченно сверху.

Определение 2. Число называется пределом функции при по множеству E, если .

Аналогично определяется предел функции при по множеству E. В частности, роль E могут исполнять промежутки .

Изучим теперь поведение функции , определенной на множестве E, вблизи некоторой точки при условии, что , и приближается к слева и справа. Пусть, например, приближается к слева.

Определение 3. Число называется пределом функции в точке слева, если

.

Если функция имеет предел в точке слева, равный числу , то это записывают так: . Если , то пишут .

Определение 4. Число называется пределом функции при справа, если .

Если является пределом функции в точке справа, то пишут . Если , то пишут .

Легко видеть, что односторонние пределы функции – это пределы в точке соответственно по множествам и . Если функция имеет оба односторонних предела в точке и эти пределы равны между собой, то их общее значение называется двусторонним пределом.

Очевидно, что существование предела функции по Коши равносильно существованию такого же двустороннего предела функции.

Пример 1. Пусть . Здесь и , но , т.е. значение функции в точке не равно пределу функции в этой точке.

Пример 2. Пусть Легко видеть, что , , а предел функции в точке (двусторонний предел) не существует.