- •Дисциплина «Математический анализ»
- •Раздел I. Введение в анализ
- •§1 Понятие множества. Теоретико-множественные отношения и операции. Декартово произведение.
- •Способы задания множеств
- •Теоретико-множественные отношения
- •Подмножества
- •Теоретико-множественные операции
- •§2 Множество действительных чисел.
- •§3. Изображение действительных чисел на прямой.
- •§4. Основные свойства множества действительных чисел.
- •§5. Модуль действительного числа.
- •Модуль действительного числа обладает свойствами:
- •§6. Числовые множества.
- •§7. Функции и их общие свойства.
- •§8. Действительная функция действительной переменной.
- •§9. Некоторые типы поведения действительных функций действительной переменной. Функции монотонные и кусочно-монотонные.
- •Функции четные и нечетные.
- •Периодические функции.
- •Функции ограниченные и неограниченные.
- •§10. Обратная функция.
- •§11. Числовые последовательности..
- •§12. Принцип вложенных отрезков.
- •§13. Бесконечные десятичные дроби.
- •§14. Предельная точка множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§15. Понятие предела числовой последовательности.
- •§16. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •§17. Предел монотонной последовательности. Число «e».
- •§18. Критерий Коши.
- •§19. Верхний и нижний пределы.
- •§20. Понятие предела функции.
- •§21. Основные теоремы о пределах функции в точке
- •§22. Предел функции по множеству. Предел на бесконечности.
- •§23. Первый замечательный предел.
- •§24. Второй замечательный предел.
- •§25. Бесконечно малые функции и их сравнения
- •§26 Бесконечно большие функции
§7. Функции и их общие свойства.
Пусть – два произвольных множества и пусть каким-то способом каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент Y. Тогда соответствие называется функцией с областью определения и областью значений, лежащей в . При этом называют аргументом, – значением функции, а – функцией, или отображением. Кроме того, называют образом элемента , а , соответственно, прообразом элемента .
Подчеркнем, что в определении функции (отображения) нет надобности, чтобы каждый был образом некоторого , и не требуется, чтобы различным соответствовали разные значения
Проиллюстрируем это на конкретном отображении.
П
d b
у O Y K
L
с
Рис.6
Восставим из точки касания перпендикуляр и выберем на нем произвольную точку O, лежащую вне круга. Возьмем на окружности произвольную точку и проведем из точки O луч, проходящий через точку до пересечения с прямой . Точку пересечения луча с прямой обозначим через . Поставим в соответствие точке точку .
Нами построено отображение окружности в прямую. Очевидно, что при заданном отображении окружность переходит в отрезок [c,d]. Отсюда следует, что если взять точку , лежащую на прямой вне отрезка [c,d], то она не будет образом никакого
Из чертежа видно, что при заданном отображении две разные точки окружности переходят в одну точку b на прямой.
Введем следующие определения:
Определение 1. Совокупность всех элементов из , образом которых является элемент называется полным прообразом элемента и обозначается .
В нашем примере .
Определение 2. Пусть A- некоторое множество из X. Совокупность всех элементов вида , где называется образом при отображении и обозначается
В нашем примере образом дуги является отрезок [y,b], т.е.
Определение 3. Для каждого множества B из Y его полный прообраз есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат B.
Ясно, что . В нашем примере полный прообраз отрезка [y,b] является , т.е. .
Из определения полного прообраза множества вытекают два соотношения:
-
;
-
Первое соотношение – это просто символическая запись определения полного прообраза. Второе легко проверяется, проиллюстрируем его на нашем примере. Пусть . Тогда но .
В определении функции (отображения) подчеркивалось, что нет надобности, чтобы каждый был образом некоторого . Таким образом, не исключена возможность, что у некоторых полные прообразы будут пустые множества, это как раз и означает, что в такие элементы никакие не переходят. Может оказаться, что все множество состоит из элементов, которые не имеют прообразов (в нашем примере отрезок [K,L]) тогда и полный прообраз будет пустым множеством.
Будем говорить, что есть отображение множества «на» множество , если ; в общем случае, т.е. когда , говорят, что – есть отображение «в»
Рассмотрим основные свойства функций.
Теорема 1. Полный прообраз объединения двух множеств равен объединению их полных прообразов: .
Доказательство: Пусть . Очевидно, что или или что и требовалось доказать.
Теорема 2. Полный прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их полных прообразов: .
Доказательство: Пусть . Очевидно, что , что и требовалось доказать.
Теорема 3. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов .
Доказательство: Если то существует . Так как или , то , что и требовалось доказать.
Заметим, что для пересечения множеств утверждения, аналогичного теореме 3, вообще говоря, нет. Так, в приведенном выше примере, дуги и не пересекаются, а их образы совпадают.
Рассмотрим несколько понятий, применяемых в теории функций.
Пусть заданы две функции (отображения): , отображающая множество X во множество Y, и , отображающая множество в множество .
Определение 1. Функция называется сужением на и . При этом называется продолжением X.
Таким образом, сужение на – это функция, определяемая тем же законом, что и но не для всех , а только для Принято обозначение .
Пусть заданы два отображения: – множества в множество и – множества в множество
Определение 2. Композицией функций или сложной функцией называется функция с областью определения X и множеством значений в Z, определяемая равенством
Для композиции функций принято обозначение .
Видно, что при задании композиции функций (отображений) образ первого отображения входит в полный прообраз второго, т.е. значения первой функции служат аргументами для второй функции Элементы называют промежуточными аргументами.
Аналогично можно определить сложные отображения, являющиеся композицией трех и большего числа функций.
Определение 3. Графиком отображения множества X в Y называется подмножество декартова произведения состоящее из всевозможных пар .
В частности, когда X и Y – это множества точек числовой оси, график функции – это множество точек плоскости с абсциссами x и ординатами .
Очевидно, график сужения является подмножеством графика .
Лекция 5