§20. Понятие предела функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , хотя в самой точке она может быть не определена.

Рассмотрим поведение функции при условии, что приближается к точке . Различные функции ведут себя при этом по-разному. Так, значение функции при стремлении к точке приближается к 9. При этом не играет роли, каким образом стремится к точке , оставаясь больше или меньше его. Важно лишь то, что как только расстояние становится малым, так немедленно и расстояние становится малым.

В связи с этим говорят, что функция имеет предел, равный 9.

В общем случае можно дать следующее определение предела функции в точке.

Определение 1 (Коши). Число называется пределом функции в точке , если . Коротко этот факт записывают так: .

Следует отметить, что в данном определении значение функции в самой точке не рассматривается, в ней функция может быть и не определена.

Покажем, что в соответствии с этим определением функция в точке имеет предел, равный 9.

Рассмотрим модуль разности . Так как при рассмотрении предела функции нужно знать только значения , близкие к 2, то можно считать, что и поэтому . При этом .

Возьмем теперь произвольное число и выберем . Если будет выполняться неравенство , то . Следовательно, .

Обратимся еще раз к определению предела функции в точке. Возьмем две точки такие, что . Тогда по определению . Отсюда .

Итак, если функция имеет предел в точке , то значения функции в точках, близких к точке , будут близки между собой.

В

y

ыясним геометрический смысл существования предела функции (рис. 16).

x

Рис .16

Неравенство означает, что значения аргумента находятся в - окрестности точки т.е. . Неравенство означает, что значения функции находятся в - окрестности точки , т.е. . Следовательно, если , то геометрически это означает, что как только значения аргумента попадут в - окрестность точки, так немедленно график функции попадет в полосу шириной , ограниченную прямыми , . В определении предела сказано, что для любого можно найти , которое, очевидно, зависит от . Из геометрической картины видно, что чем меньше будет взято , тем меньше придется брать .

Отметим, что предел постоянной равен самой постоянной.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие предела функции в точке. Исследуем поведение функции при стремлении аргумента к нулю. Очевидно, что функция в точке не определена, но это не мешает говорить о пределе этой функции в точке . Докажем, что .

Так как , то для любого выберем . При этом для получим, что . Следовательно, , что и доказывает нужное.

Рассмотрим пример функции, не имеющей предела в точке. Исследуем поведение функции при . Заметим, что функция в точке не определена. Докажем, что в точке функция не имеет предела.

Рассмотрим две точки и . Для больших они будут как угодно близки к нулю, но , а и . Поэтому функция в точке предела не имеет.

Если воспользоваться понятием предела последовательности, то можно дать еще одно определение предела функции в точке.

Определение 2 (по Гейне). Число называется пределом функции в точке если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Теорема. Определение предела функции по Гейне эквивалентно определению предела функции по Коши.

Доказательство: Пусть число есть предел в точке по Коши, т.е. (12).

Возьмем последовательность , сходящуюся к точке . Тогда для найдется такое , что для всех будет выполняться неравенство , но при этом выполняется и неравенство . Таким образом, , т.е. и есть предел функции в точке по Гейне.

Пусть теперь есть предел функции в точке по Гейне. Докажем, что будет пределом функции по определению Коши. Предположим противное. Пусть не является пределом функции по определению Коши. Тогда имеет место отрицание формулы (12). Но . Возьмем за последовательность чисел . Тогда для найдется точка такая, что , а . В результате получаем последовательность , сходящуюся к точке , и при этом последовательность не сходится к . Полученное противоречие доказывает теорему.