§23. Первый замечательный предел.

Рассмотрим предел функции в точке где аргумент выражен в радианах. Эта функция определена для всех кроме точки =0. Для определения предела этой функции в точке в точке нельзя воспользоваться теоремой о пределе частного, так как здесь предел знаменателя равен нулю.

Р

ассмотрим круг единичного радиуса, в нем сектор с центральным углом, равным (рис. 17).

Рис. 17

Через точки и проведем перпендикуляры к радиусу и сравним площади полученных фигур. Так как есть часть сектора OAD, то . Но . Поэтому справедливы неравенства .

Из полученных неравенств, в частности, по теореме о пределе промежуточной переменной следует, что . А так как , то отсюда следует, что . После деления на получаем или Из последних неравенств по теореме о пределе промежуточной переменной имеем .

Покажем, что предел этой функции слева также равен 1. Для этого заменим на . Так как при имеем , то . Таким образом, .

Заметим, что замена позволяет доказать также равенства: и =1.

Предел часто называют первым замечательным пределом. С его помощью раскрываются многие неопределенности, связанные с тригонометрическими функциями. Приведем примеры, которые одновременно являются и важными следствиями из доказанного.

1. .

2. .

3. .

4. .

§24. Второй замечательный предел.

Рассмотрим предел функции при и покажем, что он равен .

Пусть . Положим . Тогда . Запишем очевидные неравенства:

.

Отсюда

. (15)

Так как при и , то

и .

Следовательно, в неравенствах (15) крайние функции при имеют одинаковые пределы, равные , поэтому на основании теоремы о промежуточной переменной .

Пусть теперь , то есть . Положим . Теперь и .

Приведем примеры, использующие второй замечательный предел.

1. Пусть требуется найти предел . Полагая , найдем .

2. Найдем предел . Положим , тогда .

Лекция 13

§25. Бесконечно малые функции и их сравнения

Если , то говорят, что в точке функция - бесконечно малая.

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Например, функция является бесконечно малой в точке , а функция является бесконечно малой в точке , где

Если вернуться к общему случаю функции , имеющей в точке своим пределом число , то разность между функцией и пределом b будет, очевидно, бесконечно малой функцией в точке . Действительно, для всех , попадающих в окрестность . Наоборот, если - бесконечно малая в точке , то имеет в точке предел, равный b. Таким образом, доказано утверждение:

Теорема. Для того, чтобы функция имела в точке своим пределом число b, необходимо и достаточно чтобы разность была бесконечно малой в точке .

Итак, для всех x из окрестности , т.е. функция равна сумме своего предела и бесконечно малой функции. Отметим следующие свойства бесконечно малых функций:

Лемма 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Лемма 2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Лемма 3. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.

Доказательство первых двух лемм следует непосредственно из теорем о пределах и определении бесконечно малой функции. В самом деле, пусть и - бесконечно малые в точке , т.е. и . При этом и , и, следовательно, функции и есть функции бесконечно малые в точке .

Методом математической индукции эти результаты распространяются на случай любого конечного числа бесконечно малых функций.

Пусть и - две бесконечно малые функции. Рассмотрим вопрос об их сравнении.

1. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем , если . В случае, когда есть бесконечно малая более высокого порядка, чем , употребляется символическая запись (читается так: равно о малое от )

Очевидно, символ о обладает свойствами: если , то и .

Отметим также, что если и - бесконечно малые функции в точке , то функция имеет более высокий порядок малости, чем каждый из сомножителей, и поэтому и .

2. Функции и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковый порядок малости), если существует предел отношения , отличный от нуля.

3. Функции и называются эквивалентными бесконечно малыми в точке , если и мы пишем .

Например, функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем в точке , так как . Функции и в точке являются эквивалентными, так как

Сравнение бесконечных функций оказывается полезным в различных вопросах математического анализа. Одним из важных применений этого сравнения является использование эквивалентных бесконечно малых функций при вычислении пределов функций.