§17. Предел монотонной последовательности. Число «e».

Для монотонной последовательности можно привести простой критерий существования ее предела.

Теорема. Если возрастающая (eубывающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.

Доказательство. Пусть числовая последовательность возрастает и ограничена сверху. Из условия ограниченности этой числовой последовательности (точечного множества) сверху следует, что данная последовательность имеет верхнюю грань. Обозначим ее через и докажем, что .

В силу определения верхней грани для последовательности имеем: и в то же время

Кроме того, последовательность возрастает и поэтому

Из совокупности эти неравенств следует, что для . Значит, справедлива формула .

Для убывающей последовательностей, ограниченных снизу, доказательство проводится аналогично.

Доказанная теорема является следствием теоремы о существовании граней у ограниченного числового множества. Но можно было бы доказать справедливость обратного утверждения. Иначе говоря, эти утверждения эквивалентны и, значит, теорема о пределе монотонной последовательности дает еще одну эквивалентную формулировку свойства полноты множества действительных чисел.

В заключение отметим, что нами рассмотрено, пять формулировок аксиомы непрерывности множества R действительных чисел: теорема Дедекинда, теорема о существовании граней у ограниченного множества, теорема Кантора, теорема о представимости действительных чисел десятичными дробями, теорема о пределе монотонной последовательности. Все они эквивалентны, т.е., принимая любую из них за аксиому, остальные можно доказать как теоремы. Теорема о пределе монотонной последовательности находит широкое применение в различных вопросах математического анализа. Докажем, например, что для . Действительно, так как 0<q<1, то , т.е. последовательность строго убывает. Она ограничена снизу, так как для любого . Поэтому согласно теореме о пределе монотонной последовательности существует предел . Очевидно, что и . Но , т.е. . Так как , то .

Итак,

Рассмотрим более сложный пример, а именно: числовую последовательность с общим членом Докажем существование предела этой последовательности. С этой целью сначала установим неравенство Бернулли:

, (10)

где

Доказательство проведем методом математической индукции. При соотношение (10) очевидно, справедливо со знаком равенства.

Пусть теперь соотношение (10) справедливо для некоторого , т.е. (11).

Докажем, что тогда неравенство (10) справедливо и при . Умножим обе части неравенства (11) на положительное число , получим , что и требовалось доказать.

Докажем теперь существование предела последовательности с общим членом .

Для этого установим, что эта последовательность убывает. Рассмотрим отношение:

.

Но в соответствии с неравенством Бернулли:

.

Поэтому . Отсюда , т.е. последовательность убывает. А так как при всех , то последовательность ограничена снизу. Следовательно, последовательность имеет предел. Но и . Значит, последовательность имеет тот же предел, что и последовательность .

Этот предел обозначают буквой . Это иррациональное число. Оно играет важную роль во многих разделах математики. Его приближенное значение: .