- •1. Определение положения точки в пространстве.
- •Вектор перемещения.
- •2. Вектор скорости.
- •Вектор ускорения.
- •3. Кинематика твердого тела.
- •Число степеней свободы .
- •4.Вращательное движение тел .
- •5.Движение отдельных точек вращающегося твердого тела.
- •6.Плоское движение твердого тела.
- •8. Статическое и динамическое проявление сил.
- •9. Уравнение моментов относительно произвольного центра.
- •10. Основной закон динамики.
- •1 1. Движение тел в поле центральных сил.
- •Считая массу планеты постоянной, можно далее записать:
- •12. Основной закон динамики системы материальных точек.
- •13. Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра, произвольной оси.
- •14. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.
- •16. Относительность механического движения.
- •17. Постулаты Эйнштейна.
- •18. "Замедление" хода времени.
- •19 . Сравнение поперечных размеров тел.
- •20. Преобразования Лоренца.
- •21. Релятивистская масса, релятивистский импульс.
- •22. Силы инерции.
- •23. Силы трения. Сухое трение.
- •24.Вязкое трение
- •25. Упругие силы.
- •Продольное сжатие и растяжение. Закон Гука.
- •26. Деформация сдвига.
- •27. Закон всемирного тяготения.
- •28.Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, гравитационный потенциал.
- •29. Работа силы, работа суммы сил.
- •Работа упругих сил.
- •30.Работа и кинетическая энергия.
- •31. Момент инерции твёрдого тела.
- •Свободные оси вращения
- •33 Гироскопы.
- •34. Давление покоящейся жидкости.
- •35. Уравнение гидростатики эйлера
- •36.Уравнение поверхности уровня
- •37. Закон паскаля
- •38.Сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью
- •Сообщающиеся сосуды заполненные неоднородной жидкостью
- •39. Закон архимеда Тело погружено в жидкость (рис. 73).
- •На его поверхность со стороны жидкости действуют силы давления, выделим в теле объем малого сечения, ось которого вертикальна. На верхнюю и нижнюю грани этого объема действуют силы давления:
- •40. Механика движущихся жидкостей.
- •Расход жидкости
- •Уравнение неразрывности струи жидкости
- •41. Уравнение бернулли
- •Формула торичелли
- •42. Ламинарнре и турбулентное течение жидкости. Число рейнольдса.
- •43. Колебательное движение
- •44. Собственные колебания
- •45. Затухающие колебания
- •46. Вынужденные колебания
- •47. Математический маятник
- •48.Геометрическое представление колебаний.
- •49. Сложение одинаково направленных колебаний. Частоты складываемых колебаний одинаковы.
- •50. Частоты складываемых колебаний различны, одинаковы амплитуды и начальные фазы
- •51. Сложение взаимноперпендикулярных колебаний.
- •52. Гармонический анализ периодических движений.
- •55. Упругие волны.
- •56. Уравнение плоской волны, движущейся в определённом координатном направлении.
- •57.Продольные волны в твёрдом теле. Волновое уравнение.
- •58.Интерференция воли.
47. Математический маятник
Маятником обычно называют твёрдое тело, способное под действием приложенных сил совершать колебания относительно какого-либо центра или оси. Если тип маятника специально не оговорен, то считается, что маятник совершает колебания под действием силы тяжести.
Простейший маятник представляет собой небольшое массивное тело, подвешенное на нити или укреплённое на конце лёгкого стержня длины l. Если по условиям эксперимента нить можно считать невесомой и нерастяжимой, а размерами тела можно пренебречь по сравнению с длиной нити, то маятник можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии от точки подвеса. Такой маятник называется математическим. На практике приведенные выше условия являются трудно выполнимыми, тело нельзя считать материальной точкой, и маятник называют в этом случае физическим.
Закон движения математического маятника можно получить из основного закона динамики для вращательного движения. Предположим, что масса тела равна m, длина нити l, а размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь. Если тело маятника отклонить от положения равновесия на малый угол <=5°, то это положение не будет устойчивым, и маятник начинает движение. Относительно точки подвеса O (рис. 86) момент силы натяжения нити равен 0, поскольку линия действия силы тяжести проходит через точку подвеса.
Момент же силы тяжести относительно точки подвеса отличен от нуля и равен m . Поскольку при малых углах можно считать , то выражение момента силы тяжести окончательны можно записать как . Знак '-' означает, что направление момента силы тяжести противоположно угловому отклонению маятника. Момент инерции для материальной точки равен . С учётом сказанного основной закон динамики для маятника принимает вид:
Приведем дифференциальное уравнение к форме:
. ,
Закон движения математического маятника можно представить и в несколько ином виде. Предположим, что отклонение тела маятника от положения равновесия по горизонтали равно x. Дифференциальное уравнение движения тела маятника запишем по второму закону динамики в проекциях на горизонтальное направление. Проекцию равнодействующей силы на горизонтальное направление можно определить как . При малых отклонениях выполняется условие Поэтому , где знак "-" означает, что горизонтальная проекция равнодействующей силы направлена противоположно смещению l. С учётом сказанного дифференциальное уравнение движения можно представить в виде
Уравнение, как видно, также представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является гармоническая функция x=x0*sin(t+) . Таким образом, линейные отклонения тела маятника от положения равновесия также изменяются по гармоническому закону с той же циклической частотой
Пружинные маятники
Пружинные маятники представляют собой тела, укреплённые на упругих пружинах. При этом упругостью самого тела и массой пружины пренебрегают.
8
В зависимости от способа крепления маятника и предоставляемой ему свободы перемещения его перемещение может происходить только под действием силы упругости (горизонтально расположенный маятник) или под действием сил упругости и силы тяжести тела маятника при вертикальном расположении маятника. На рис.87 представлены оба маятника.
Рассмотрим сначала горизонтальный пружинный маятник. Если телу маятника сообщить отклонение от положения равновесия x, то на него будет действовать сила упругости пружины, пропорциональная при малых отклонениях первой степени смещения и противоположно ему направленная. Под действием этой силы и будет происходить дальнейшее движение тела маятника. По второму закону динамики дифференциальное уравнение движения принимает вид:
Т.е. является уравнением гармонических колебаний, решением которого является гармоническая функция:
Циклическая частота равна , а период, соответственно,
При вертикальном расположении маятника на характер движения тела будет оказывать влияние не только сила упругости пружины, но я сила тяжести тела. При отклонении тела от положения равновесия на x, на него будут действовать сила упругости и сила тяжести. При малых отклонениях сила упругости пропорциональна первой степени смещения и противоположно ему направлена . По второму закону динамики запишем дифференциальное уравнение движения:
или
В отличии от предыдущего случая правая часть уравнения не равна нулю, уравнение является неоднородным. Решением такого уравнения будем искать в виде . После подстановки искомого решения в уравнение движения получаем тождество:
Как видно тождество выполняется при условии , что .