- •1. Определение положения точки в пространстве.
- •Вектор перемещения.
- •2. Вектор скорости.
- •Вектор ускорения.
- •3. Кинематика твердого тела.
- •Число степеней свободы .
- •4.Вращательное движение тел .
- •5.Движение отдельных точек вращающегося твердого тела.
- •6.Плоское движение твердого тела.
- •8. Статическое и динамическое проявление сил.
- •9. Уравнение моментов относительно произвольного центра.
- •10. Основной закон динамики.
- •1 1. Движение тел в поле центральных сил.
- •Считая массу планеты постоянной, можно далее записать:
- •12. Основной закон динамики системы материальных точек.
- •13. Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра, произвольной оси.
- •14. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.
- •16. Относительность механического движения.
- •17. Постулаты Эйнштейна.
- •18. "Замедление" хода времени.
- •19 . Сравнение поперечных размеров тел.
- •20. Преобразования Лоренца.
- •21. Релятивистская масса, релятивистский импульс.
- •22. Силы инерции.
- •23. Силы трения. Сухое трение.
- •24.Вязкое трение
- •25. Упругие силы.
- •Продольное сжатие и растяжение. Закон Гука.
- •26. Деформация сдвига.
- •27. Закон всемирного тяготения.
- •28.Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, гравитационный потенциал.
- •29. Работа силы, работа суммы сил.
- •Работа упругих сил.
- •30.Работа и кинетическая энергия.
- •31. Момент инерции твёрдого тела.
- •Свободные оси вращения
- •33 Гироскопы.
- •34. Давление покоящейся жидкости.
- •35. Уравнение гидростатики эйлера
- •36.Уравнение поверхности уровня
- •37. Закон паскаля
- •38.Сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью
- •Сообщающиеся сосуды заполненные неоднородной жидкостью
- •39. Закон архимеда Тело погружено в жидкость (рис. 73).
- •На его поверхность со стороны жидкости действуют силы давления, выделим в теле объем малого сечения, ось которого вертикальна. На верхнюю и нижнюю грани этого объема действуют силы давления:
- •40. Механика движущихся жидкостей.
- •Расход жидкости
- •Уравнение неразрывности струи жидкости
- •41. Уравнение бернулли
- •Формула торичелли
- •42. Ламинарнре и турбулентное течение жидкости. Число рейнольдса.
- •43. Колебательное движение
- •44. Собственные колебания
- •45. Затухающие колебания
- •46. Вынужденные колебания
- •47. Математический маятник
- •48.Геометрическое представление колебаний.
- •49. Сложение одинаково направленных колебаний. Частоты складываемых колебаний одинаковы.
- •50. Частоты складываемых колебаний различны, одинаковы амплитуды и начальные фазы
- •51. Сложение взаимноперпендикулярных колебаний.
- •52. Гармонический анализ периодических движений.
- •55. Упругие волны.
- •56. Уравнение плоской волны, движущейся в определённом координатном направлении.
- •57.Продольные волны в твёрдом теле. Волновое уравнение.
- •58.Интерференция воли.
51. Сложение взаимноперпендикулярных колебаний.
В результате сложения взаимноперпендикулярных колебаний получаются сложные в общем случае по виду траектории движения. Поэтому мы рассмотрим частный случай, когда складываемые колебания имеют одинаковые частоты, но разные амплитуды и фазы. В этом случае отдельные составляющие можно записать в виде и . Здесь - сдвиг фаз между складываемыми колебаниями.
Для определения вида траектории результирующего движения из закона движения следует исключить время.
Даже в этом простом случае уравнение траектории для произвольного сдвига фаз между отдельными колебаниями принимает сложный вид. Мы рассмотрим частные случаи сдвига фаз.
а) . При таком сдвиге фаз уравнение траектории принимает вид
Упрощая выражение, получаем, что т.е. траектория представляет собой прямую линию, которая лежит в первом и третьем квадрантах.
б) . При таком сдвиге фаз уравнение траектории преобразуется к виду
.Отсюда следует, что , т.е. и в этом случае траектория представляет собой прямую линию с тем же наклоном, но она лежит уже во втором и четвёртом квадрантах.
в) . Уравнение траектории для такого сдвига фаз имеет вид
,т.е. представляет собой эллипс. Следует заметить, что как при сдвиге фаз , так и при уравнение траектории имеет один и тот же вид.
Т
Таким образом, по виду фигуры Лиссажу можно определить соотношение между частотами и фазами складываемых колебаний, а также оценивать, насколько сильно они отличаются от гармонических.
52. Гармонический анализ периодических движений.
В конце прошлого века Фурье доказал, что справедливо и противоположное утверждение: любое периодическое движение можно представить в виде суммы гармонических составляющих. Математически это представление называется рядом Фурье.
Согласно Фурье, любой периодический процесс , протекающий с частотой может быть представлен бесконечным тригонометрическим рядом
или
При анализе периодических движений оба представления Фурье эквивалентны.
На амплитуды отдельных гармонических составляющих накладываются определённые ограничения, и они вычисляются по приведенным ниже соотношениям:
и
где а пределы интегрирования определяются тем промежутком, в котором определена сама изучаемая функция . В приведенном случае функция определена в промежутке .
Постоянная разложения в ряд Фурье определяется из соотношения:
При вычислении коэффициентов Фурье и часто бывает полезно пользоваться тем, что если функция четная в промежутке , т.е. , то
а если функция нечётная, т.е. , то
Пользуясь этими общими правилами вычисления коэффициентов Фурье, рассмотрим разложение в тригонометрический ряд нескольких частных типов периодических колебаний, часто встречающихся в практике физических измерений и работе различных приборов.
а) Колебания прямоугольной формы. Колебания прямоугольной формы (рис. 110) могут быть представлены функцией
, в промежутке и в промежутке , т.е. функция в данном
с
Т ак как исследуемая функция является нечётной, то
Как видно, коэффициенты принимают различные значения в зависимости от номера члена ряда (номера гармоники). Для нечётных гармоник (нечётных значений k)
а для четных
Учитывая полученные значения коэффициентов разложения в ряд Фурье (348), (349), и (350), можно окончательно записать ряд Фурье для колебаний прямоугольной формы в виде
б) Колебания пилообразной формы
П ериодические колебания пилообразной формы, представленные на рис. 111, можно описать функцией , определяемой в промежутке . При других значениях аргумента функция повторяется с периодом .
Как видно, , т.е. функция является нечётной, поэтому из (347) следует, что
Полагая и , находим далее, что , а
. .
Таким образом, коэффициенты Фурье при чётных значениях равны
а при нечётных
в) Колебания треугольной формы
Колебания треугольной формы (рис.112) описываются функцией , определённой в промежутке и , определённой в промежутке . Так как , функция является чётной, а для чётной функции по
В этом выражении значения интегралов находим по правилу интегрирования по частям, как в предыдущем случае:
Для чётных значений
а для нечётных
Используя найденные значения коэффициентов , и, записываем разложение Фурье для колебаний треугольной формы в виде