18. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке.

23.Невырожденная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица  -го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Определение. Матрицей, союзной к матрице  , называется матрица

 

,

 

 

где  _ij – алгебраическое дополнение элемента  _ij данной матрицы  .

Напомним, что матрица  ^-1 называется обратной матрице  , если выполняется условие  ^{-1 -1} , где   – единичная матрица того же порядка, что и матрица  .

 Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Составим союзную матрицу

и инайдем произведение матриц A,A*

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

25. Пространство решений однородной слу. Фундаментальная система решений.

В этом параграфе мы введем и изучим понятия фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы (ЛОС) и покажем, что операторы g_t0^t, K_t0 иg_t0^t выражаются через фундаментальную матрицу. Общего способа для отыскания фундаментальной матрицы системы с переменными коэффициентами нет, однако сам факт ее существования играет в теории дифференциальных уравнений важную роль.

3.2.1. Утверждение о структуре множества решений ЛОС. Рассматривается линейная однородная система

x′ = A(t)x.

(ЛОС)

Пусть E — множество всех ее решений на промежутке J, а φ = {φ₁, ..., φ_n} ⊂ E. Утверждается, что:

1) E — n-мерное подпространство пространства C¹ непрерывно дифференцируемых на J функций со значениями в Kⁿ;

2) следующие утверждения эквивалентны

φ — базис в E,

(1)

∃(t0 ∈ J)[φ(t0) = {φ1(t0), φ2(t0), ..., φn(t0)} — базис в K^n],

(2)

∀(t0 ∈ J)[φ(t0) = {φ1(t0), φ2(t0), ..., φn(t0)} — базис в K^n].

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Утверждение 1) вытекает из свойств мономорфизма (см. п. 3.1.4), поскольку E = G_t0(Kⁿ) ⊂ C¹. Далее, импликация (2) ⇒ (1) следует из того, что мономорфизм G_t0 переводит базис в базис. Поскольку импликация (3) ⇒ (2) очевидна, остается доказать, что (1) ⇒ (3). Но это следует из того жеутверждения о свойствах мономорфизмов, примененного к обратному оператору G_t0^–1.

Заметим, что для произвольного набора функций φ_k, не связанных с (ЛОС), импликация (1) ⇒ (3) может быть ложной. Например, скалярные функции φ₁(t) ≡ 1,φ₂(t) ≡ t на [0, 1] линейно независимы, а их значения в любой точке t₀ линейно зависимы.

3.2.2. Определение фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы. Фундаментальной системой решений (ЛОС) называется любой базис в пространстве решений E. Фундаментальная матрица Φ(t) — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений.Фундаментальная матрица Φ_t0(t), нормальная в точке  t₀, выделяется из множества всех фундаментальных матриц условием Φ_t0(t) = I (I — единичная матрица).