- •Определители поля. Примеры поля комплексных чисел?
- •Алгебраическая запись комплексного числа. Операции над комплексными числами, их св-ва?
- •Сопряжения и его свойства?
- •4.Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.
- •Извлечение корня n-степени из комплексного числа?
- •6.Многочлены. Деление многочленов с остатком?
- •7.Теорема Декарта-Безу, схема Горнера. Пример
- •Доказательство
- •8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Пример. Основная теорема алгебры. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
- •Следствие
- •Действительная функция комплексного переменного f(X) непрерывная в замкнутом круге е достигает своего минимума и максимума.
- •Предположим, что это не верно тогда
- •9. Матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число, их свойства.
- •Умножение матрицы на число
- •Свойства умножения матрицы на число
- •10. Умножение матриц, свойства. Пример.
- •11. Транспонирование матриц, свойства. Обратная матрица и её свойства. Транспонирование матриц
- •Транспонирование матрицы
- •Обратная матрица
- •12.Элементарные преобразования строк и столбцов матриц, их матричная интерпретация.
- •18. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке.
- •23.Невырожденная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •25. Пространство решений однородной слу. Фундаментальная система решений.
- •27.Структура множества решений слу. Способы решений. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Правило Крамера
- •Условие совместности системы линейных уравнений
- •28. Пространство геометрических векторов. Операции с векторами и свойства.
- •29. Коллиниарность, комплонарность и линейная зависимость векторов.
- •Линейная зависимость векторов
- •30. Проекция вектора на ось, свойства.
- •31. Скалярное произведение. Критерий ортогональности векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов
- •32. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Длина вектора и угол между ними. Пример.
- •Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
- •Длина вектора Понятие вектора
- •33. Определение векторного и смешенного произведения векторов. Критерии комплонарности и колинеарности векторов в координатной форме. Площадь паралеограма и объём параллелепипеда.
- •34.Свойство векторного и смешенного произведения. Геометрические свойства векторного произведения Править
- •Алгебраические свойства векторного произведения Править
- •Выражение для векторного произведения в декартовых координатах Править
- •Свойства
- •35.Выражение векторного и смешенного произведения через координаты векторов.
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •36.Пдск. Координаты точки и координаты векторов. Преобразование координат при переходе к другой пдск.
- •Система координат и координаты вектора
- •37. Пск. Формулы перехода в пдск. Другие системы координат. Полярные координаты
- •[Править]Цилиндрические координаты
- •[Править]Сферические координаты
- •[Править]Обозначения, принятые в Америке
- •[Править]Европейские обозначения
- •38. Понятие об уравнении фигуры. Объединение пересечение фигур.
- •39. Уравнения примой на плоскости.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •40. Уравнение плоскости.
- •41. Уравнение прямой в пространстве.
- •42. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Пример. Угол между прямыми на плоскости
- •Угол между плоскостями
- •43. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями. Пример. Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •44. Эллипс. Директрисы и оптические свойства гиперболы. Ллипс
- •46. Парабола. Парабола
- •47. Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •48. Собственные числа, собственные векторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •49. Привидение в квп к каноническому виду.
- •50. Поверхности второго порядка. Метод сечений. Поверхности второго порядка
Обратная матрица
Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если
.
Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка.
Из определения следует, что если матрица В является обратной по отношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отношению к матрице А.
Определение. Матрица имеющая обратную матрицу называется обратимой.
Теорема. Если квадратная матрица А имеет обратную, то она единственная.
Доказательство. Пусть В и С – две матрицы обратные к матрице А. Тогда и . Имеем,
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Заметим, что точно также доказывается единственность симметричного элемента в любой полугруппе при условии его существования.
Обозначение: если матрица А обратимая, то обратная к ней обозначается (мы можем это сделать в силу ее единственности) через .
Заметим, что если матрица А обратимая, то обратная к ней матрица также является обратимой.
Обозначение. Множество всех обратимых матриц n-го порядка над полем K обозначается через
.
Теорема. (Свойства обратных матриц.)
1. Произведение обратимых матриц одного и того же порядка является обратимой матрицей:
, и .
2. Единичная матрица является обратимой, т.е. если Е – единичная матрица n-го порядка, то
и .
3. Если А обратимая, то и также является обратимой, т.е. если , то и .
Доказательство. 1) Пусть А и В – обратимые матрицы и , – обратные к ним. Покажем, что произведение является матрицей обратной к произведению :
.
Аналогично получаем . Следовательно, матрица АВ имеет обратную и . Отсюда следует, что матрица АВ является обратимой, т.е. , ч.т.д.
2) Так как , то по определению, , т.е. единичная матрица имеет обратную и, следовательно, единичная матрица является обратимой и .
3) Действительно, из определения следует, что матрица А является обратной по отношению к матрице , следовательно, матрица обратимая и . Более того, в силу единственности обратной матрицы следует, что
.
Теорема доказана.
Следствие. Множество является некоммутативной группой относительно умножения.
Доказательство. На множестве умножение матриц является внутренней бинарной алгебраической операцией, поэтому осталось лишь проверить аксиомы группы.
1) Ассоциативность умножения в множестве выполняется потому что умножение квадратных матриц ассоциативно (см теорему о свойствах умножения матриц).
Далее, в предыдущей теореме доказано, что:
2) единичная матрица ;
3) существует обратная ей .
Следствие доказано.
Определение. Обратимая квадратная матрица называется также неособой или невырожденной. Если квадратная матрица не имеет обратной, то она называется особой или вырожденной.
Замечание. Легко доказать существование особых матриц. Например, матрица
является особой (вырожденной, необратимой). Действительно, если бы она была обратимой, то существовала бы обратная к ней и . Пусть далее, . Тогда и отсюда получаем
или , т.е. получаем противоречие.
Аналогично, легко показать существование особых матриц любого порядка. Отсюда следует вывод, что не все квадратные матрицы являются обратимыми.
В дальнейшем, мы найдем необходимое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы любого порядка и не только докажем существование обратимых матриц, отличных от единичной матрицы, но и выведем формулу для ее вычисления.