48. Собственные числа, собственные векторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида  . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.

Пусть дано линейное пространство R_n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R_n в себя, то есть A:R_n→ R_n.

Определение. Ненулевой вектор   называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит   в коллинеарный ему вектор, то есть  . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору  .

Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.

1. Любая линейная комбинация собственных векторов  оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Собственные векторы   оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.

3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется   линейно независимых собственных векторов  , соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы:   тогда  .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе   (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов.

Пусть дан вектор  , где x₁, x₂, …, x_n - координаты вектора   относительно базиса   и   - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу  , то есть  . Это соотношение можно записать в матричной форме

. (*)

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания  , причем  , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.

Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:

 (1)

где   - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

.

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.

Пусть λ₁, λ₂, …, λ_n - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

Пример 12. Линейный оператор A действует в R₃ по закону  , где x₁, x₂, .., x_n - координаты вектора   в базисе  ,  ,  . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.

Решение. Строим матрицу этого оператора:

  .

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

.

λ_1,2 = -1, λ₃ = 3.

Подставляя λ = -1 в систему, имеем:

 или 

Так как  , то зависимых переменных два, а свободное одно.

Пусть x₁ - свободное неизвестное, тогда  Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы:   Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид:  , где x₁ - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x₁ = 1:  .

Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3:  .

В пространстве R₃ базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R₃ составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример 13. Дана матрица  .

1. Доказать, что вектор   является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.

2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение.

1. Если  , то   - собственный вектор

.

Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.

Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.

Собственные векторы ищем из системы:

Характеристическое уравнение:  ;

(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ² - 1) = 0

λ₁ = -3, λ₂ = 1, λ₃ = -1.

Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x₁ = x₃ = 0. x₂ здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x₂ = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:

.

Если λ = 1, то получаем систему 

Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.

Пусть x₃ - свободное неизвестное. Тогда x₁ = -3x₃, 4x₂ = 10x₁ - 6x₃ = -30x₃- 6x₃, x₂ = -9x₃.

Полагая x₃ = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

.

Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R₃. Таким образом, в базисе  ,  ,   матрица A имеет вид:

.

Не всякую матрицу линейного оператора A:R_n → R_n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой  .

Замечания. 1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.

2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.