Предположим, что это не верно тогда

получена бесконечная ограниченная последовательность x_n,

из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

, пусть ее предел равен x₀. Так как круг Е замкнут, то x

₀ пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна

получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености

f(x).

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в

замкнутом круге Е достигает своего минимума и

максимума.

Доказательство.

Докажем это утверждение для максимума.

Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно

существует M=sup{ f(x)}. Рассмотрим функцию

.

Если f(x) не достигает своего максимума, то M> f(x)

следовательно M-f(x)>0 , следовательно g(x) непрерывна в Е.

Полученое противоречит тому, что M=sup{ f(x)}. Следовательно

функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.

Доказательство основной теоремы.

Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если a_n-свободный член, то

f(0)= a_n. Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|a_n|

тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е

ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга.

Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри

замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x₀

, что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x₀)|. x

₀ является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N

|f(x)|>M>|f(0)|>|f(x₀)| точка x₀ является точкой

минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.

|f(x₀)|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x₀)|¹0 то x

₀ не точка минимума для |f(x)|Þ x₀-корень многочлена

f(x).

Теорема доказана.

9. Матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число, их свойства.

Матрицей A размера n x m называется совокупность n * m чисел, расположенных в виде таблицы, состоящей из n строк и m столбцов.

  Краткие обозначения матриц:  A = ( a _{i , j} )  A = [ a _{i , j} ] ( i = 1 , 2 , ... , n; j = 1 , 2 , ... m )   Элемент матрицы a _{i , j} - число, расположенное в i-й строке и j-ом столбце.   Если у матрицы число строк и солбцов одинаково ( n = m ), то такая матрица называется квадратной.

Типы квадратных матриц.

  Диагональная:

D = diag ( d₁ , d₂ , ... , d_n ) = 

  Еденичная:

E = I = 

  Верхняя треугольная:

A = 

  Нижняя треугольная:

B = 

  Нулевая матрица - матрица, все элементы которой равны нулю:

O = 

  Матрица-строка (вектор-строка) - матрица размером 1 x m

A = [a₁, a₂, ... , a_m]

  Матрица-столбец (вектор-столбец) - матрица размером n x 1:

B = 

  Симметричной называется квадратная матрица у которой элементы, симметричные относительно главной диагонали равны, т.е. i , j = 1, 2, ... , n a _{i , j} = a _{j , i}

Сложение матриц 

     Суммой матриц   и   одинаковых размеров называется матрица   тех же размеров, у которой   Обозначение: C = А + В.

     Свойства сложения матриц: А + В = В + А, (А + В) + С = A + (B + C), А + 0 = A, А + (-A) = 0,   A, B, C.

Свойства операции сложения матриц: 1) коммутативность:

A+B=B+A

2) ассоциативность:

(A+B)+С=A+(B+C)

3) дистрибутивность относительно сложения матриц

λ(A+B)=λA+λB

4) дистрибутивность относительно сложения чисел

(α+β)A=αA+βA

Операция сложения матриц имеет обратную операцию - вычитание. Разностью матриц A и B называется матрица C, составленная из разностей соответственных элементов заданных матриц A и B. О матрице Cговорят, что она получена в результате вычитания матрицы B из матрицы A, и пишут C=A−B .