8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Пример. Основная теорема алгебры. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, решим следующую задачу.

      Задача. Найти все корни уравнения

являющиеся рациональными числами.

      Решение. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

,

где   – число целое, а   – число натуральное, то выполняется  равенство:

      Умножая это равенство на  , получаем равенство:

(1)

      Теперь преобразуем равенство (1):

      Отсюда вытекает, что число    нацело делится на число  . А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа   и   не имеют общих простых делителей, то число   является делителем числа 2. Таким образом, число   равно  1 или 2.

      Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:

      Значит, число    нацело делится на число  . А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа   и   не имеют общих простых делителей, то число   является делителем числа 3. Таким образом, число   может быть равно:  -1,1,-3 или 3.

      Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел   и  , получаем, что дробь

может принимать только следующие значения:

      Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень,  то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.

      Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число  .

      Оставляя читателю проверку того, что  другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число    действительно является его корнем:

      Ответ. Число   является единственным рациональным корнемисходного уравнения.

      Замечание.  Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен

на двучлен

      В результате деления получится квадратный трехчлен

после чего остается лишь решить квадратное уравнение:

      Теорема. Если рациональное число (несократимая дробь)

,

где   – число целое, а   – число натуральное, является корнем многочлена -ой степени

все коэффициенты

которого являются целыми числами, то числитель дроби   является делителем коэффициента  , а знаменатель дроби   является делителем коэффициента  .

      Коэффициент   называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент   - свободным членом многочлена.

Основная теорема алгебры.

Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не

меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствие

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.

Док

План доказательства.

Лемма №1. Многочлен f(x) является непрерывной функцией

комплексного переменного x.

Лемма №2. Если данн многочлен n-ой степени, n>0,

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+.+a_n

с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое

положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю

значений

|a_nxⁿ|>k|ax^n-1+a_nx^n-2+..+a₀|

Лемма №3.

Лемма №4.(Лемма Даламбера).

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в

замкнутом круге Е, то она ограничена.

Лемма №6.