6.Многочлены. Деление многочленов с остатком?

Многочлен или полином (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.

Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.

Основные определения многочлена: • Каждое слагаемое полинома называется одночленом или мономом. • Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом. • Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа. • Если старший коэффициент равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным). • Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней. • Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом. • Многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.

Определение. Пусть   и   — многочлены,  . Будем говорить, что   поделен на   с остатком, если   представлен в виде  , где   и   — многочлены, причем  .

Полином   называется остатком от деления   на  ,   — неполным частным.

Пример.  .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть   и   — полиномы над полем  ,  . Тогда существуют единственные многочлены   и  над полем   такие, что   и  .

Доказательство. Существование.

Пусть  . Положим  .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома   (  фиксируем). Среди всех многочленов  , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его  :

Пусть  . Положим

Коэффициент при   в многочлене   равен  . Следовательно,  . Значит, для многочлена  теорема верна. Существуют такие   и  , что  . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1)  . Значит,  ,

2)  .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

7.Теорема Декарта-Безу, схема Горнера. Пример

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x − a:

P(x) = (x − a)Q(x) + R(x).

Так как deg R(x) < deg(x − a) = 1, то R(x) — многочлен степени не выше 0. Подставляя x = a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a).

Схема Горнера - один из простейших способов деления многочлена  на бином x-a. Конечно, делением применение схемы Горнера не исчерпывается, но для начала рассмотрим именно это. Применение алгоритма поясним на примерах. Разделим   на  . Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена   по убыванию степеней переменной. Заметьте, что данный многочлен не содержит х, т.е. коэффициент перед х равен 0. Так как мы делим на  , во второй строке запишем единицу:

       Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. В первую пустую ячейку запишем 5, просто перенеся ее из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 

Аналогично заполним и четвертую:  :

Для пятой ячейки получим  :

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем  :

Задача решена, осталось только записать ответ:

       Как видите, числа, расположенные во второй строке (между первым и последним), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления   на  . Последнее число во второй строке означает остачу от деления или, что то же самое, значение многочлена   при  . Следовательно, если в нашем случае остача равна нулю, то многочлены делятся нацело.

       Полученный результат говорит также и о том, что 1 является корнем многочлена  .

       Приведем еще один пример. Разделим многочлен   на  . Сразу оговорим, что выражение   нужно представить в форме  . В схеме Горнера будет учавствовать именно -3.

       Если наша цель - найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, - до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни. Например, отыщем все корни многочлена  . Целые корни нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей 8. Т.е., целыми корнями могут быть числа -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Проверим, к примеру, 1:

       Итак, в остаче имеем 0, т.е. единица действительно является корнем данного мнгогочлена. Попробуем проверить единицу еще несколько раз. Новую таблицу для этого создавать не будем, а продолжим использование предыдущей:

       Вновь в остаче ноль. Продолжим таблицу до тех пор, пока не исчерпаем все возможные значения корней:

Итог:  .

       Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целых корней метод довольно-таки неплох.