34.Свойство векторного и смешенного произведения. Геометрические свойства векторного произведения Править

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b

• Если e - орт векторного произведения a и b, а S - площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения справедлива формула:

• Если c - какой-нибудь вектор, π - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула

Алгебраические свойства векторного произведения Править

•  (свойство антикоммутативности);

•  (свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр);

•  (свойство дистрибутивности по сложению);

•  для любого вектора a.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах Править

Если два вектора a и b определены своими прямоугольными координатами

то иx векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя :

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

• Смешанное произведение   в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов  и  :

• Смешанное произведение   в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов   и , взятому со знаком "минус":

В частности,

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

• Геометрический смысл — Смешанное произведение   по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами   и  ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

35.Выражение векторного и смешенного произведения через координаты векторов.

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k. Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие, а именно: из конца вектора k поворот от i к j по кратчайшему направлению должен быть виден против часовой стрелки.

        Определение 10.27   Упорядоченную тройку некомпланарных векторов   будем называть правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора   поворот от первого вектора   ко второму вектору   по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки. Если поворот виден по часовой стрелке, то тройку называют левой тройкой векторов.         

Оказывается, если векторы правой тройки изменять непрерывно, но так, чтобы в любой момент времени они были не компланарны, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет правой тройкой. Аналогичным свойством обладает и левая тройка векторов.

Отметим также, что определение векторного произведения и правой (левой) тройки вектров связаны с наличием в пространстве "физических" объектов: часов, человека и т. п. В абстрактном векторном пространстве, где такие объекты отсутствуют, определить, какая тройка -- правая, а какая -- левая, невозможно. Можно только все некомпланарные тройки векторов разбить на два класса такие, что при непрерывной деформации тройки одного класса, при которой в любой момент векторы тройки не компланарны, тройка все время остается в своем классе.

Итак, пусть в трехмерном пространстве задан ортонормированный базис i, j, k, векторы которого образуют правую тройку векторов. Такой базис будем называть правым.

Используя определение векторного произведения, легко проверить следующую таблицу умножения   :

a \ b	i	j	k
i	0	k	- j
j	- k	0	i
k	j	- i	0

        Предложение 10.24   Пусть   ,   . Тогда

        Доказательство.     По условию   ,   . В силу  предложений 10.20 и 10.21 получим

(10.5)

По тем же правилам

По таблице умножения   . Аналогично находим   ,   . Подставив полученные результаты в формулу (10.5), получим

     

Запомнить полученную формулу довольно тяжело. Чтобы облегчить этот процесс, введем еще два дополнительных объекта -- матрицу и определитель.

Матрицей второго порядка будем называть таблицу из четырех чисел, которая обозначается   , матрицей третьего порядка называется таблица из 9 чисел -- 

Определителем матрицы второго порядка будем называть число   . Определитель второго порядка обозначается   .

Определителем матрицы третьего порядка будем называть число

Сформулируем словами правило вычисления определителя третьего порядка.

Берем первый элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом. Умножаем этот элемент на определитель, оставшийся после вычеркивания. Затем пишем знак "-" и берем второй элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель. Затем пишем знак "+" и третий элемент первой строки. Снова вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель.

В дальнейшем мы увидим, что столь сложно введенное понятие определителя оказывается очень полезным при решении систем линейных уравнений, определении линейной зависимости векторов и во многих других задачах.

        Пример 10.1   Вычисление определителей:

1)   .

2) 

 .         

Формула для определителя третьего порядка позволяет кратко записать формулу для вычисления векторного произведения.

        Предложение 10.25   Если в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы координаты векторов   ,   , то

(10.6)

        Доказательство.     Достаточно лишь написать формулу вычисления приведенного в теореме определителя и сравнить ее с формулой  предложения 10.24.      

        Пример 10.2   Пусть   ,   . Тогда

        

Задача. Пусть вершины треугольника расположены в точках   ,   ,   . Найдите площадь треугольника.

Решение. По  предложению 10.22   . Находим   ,   ,

то есть   . Тогда

Ответ:   .     

Задача. Найдите такой единичный вектор e, ортогональный векторам   ,   , что тройка векторов a,b,e -- левая.

Решение. Найдем вектор   :

Вектор c ортогонален векторам a и b. Найдем его длину:   . Тогда    -- единичный вектор, ортогональный векторам a,b. Векторы a,b,c, а следовательно, и векторы a,b,   . образуют правую тройку векторов. Поэтому   .

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы a =а_хi +a_yj +a_zk , b =b_xi +b_yj +b_zk , с=c_xi +c_yj +c_zk . Найдем их смешанное произведение, используя выражения  в  координатах для векторного и скалярного произведений:

 

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.