28. Пространство геометрических векторов. Операции с векторами и свойства.

Направленные отрезки.

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Def 1. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точкаА, а второй — точка В, то А — начало отрезка, а В — его конец.

Направленный отрезок обозначается  или .

Def 2. Длиной  направленного отрезка  называется длина отрезка АВ.

На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце.

Def 3. Направленные отрезки  и  называются сонаправленными, (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки  и  называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки  и  называются противоположными.

Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается  и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Def 4. Два направленных отрезка  и  считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1^о) отрезок  эквивалентен сам себе;

2^о) если  эквивалентен , то  эквивалентен ;

3^о) если  эквивалентен  и  — эквивалентен , то  эквивалентен .

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы — классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Def 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).

В школе вектор — это параллельный перенос.

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина — длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор — это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто будем писать: «вектор ».

Длина .

Def 6 Вектор a такой, что  называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором . Его длина равна нулю, а направление не определено.

Def 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Def 8. Три и более векторов называются комплонарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной.

Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим  и . Тогда  есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Покажем, что вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда  — параллелограмм; аналогично,  — параллелограмм   — параллелограмм  , т.е. они определяют один и тот же вектор.

Def 9. Вектор  называется суммой векторов  и . Пишут: .

Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.

Суммой векторов   и   называется вектор     Для любых векторов    справедливы равенства 

Т еорема 11.6. 

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство 

Пусть A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃) – данные точки.

Вектор   имеет координаты   вектор   имеет координаты   Следовательно, вектор   имеет координаты   Вектор   имеет такие же координаты. По теореме 11.5   Теорема доказана.

амечание. Теорема 11.6 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов   и   Надо от конца вектора   отложить вектор   равный вектору   Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора   а конец – с концом вектора   будет суммой векторов   и 

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Разностью векторов   и   называется такой вектор   который в сумме с вектором   дает вектор     откуда c₁ = a₁– b₁; c₂ = a₂– b₂.

Произведением вектора   на число λ называется вектор   т. е. 

• Для любого вектора   и чисел λ и μ 

  

• Для любых двух векторов   и   и числа λ

Т еорема 11.7. 

Абсолютная величина вектора   равна |λ || a|. Направление вектора   при   совпадает с направлением вектора   если λ > 0, и противоположно направлению вектора   если λ < 0.

Построим векторы   и   равные   и   соответственно (O – начало координат). Пусть   и   – координаты вектора   Тогда координатами точки A будут числа   и   координатами точки B – числа   и   Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точкиA (a₁; a₂), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa₁; λa₂). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c₁ и c₂ любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a₁ и a₂ точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы   и   одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы   и   противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора   равна   Теорема доказана.

Теорема 11.8. 

Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов   и   существует такое число λ, что 

Доказательство

Пусть   и   одинаково направлены. Векторы   и   одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину   Значит, они равны:     Если векторы   и   противоположно направлены, аналогично заключаем, что     Теорема доказана.

Т еорема 11.9. 

Пусть   и   – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор   можно единственным образом представить в виде 

Доказательство

Пусть A и B – начало и конец вектора   Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам   и   Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем   Так как векторы   и   коллинеарны, то   так как векторы   и   коллинеарны, то   Таким образом, 

Рисунок 11.2.5.

К теореме 11.9

Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что   существуют числа   и   такие, что   и при этом верно хотя бы одно из соотношений     Пусть для определенности   Тогда из равенства   имеем   На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы   и   коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов   и   называется число   Скалярное произведение векторов   и   обозначется 

Для любых векторов     и   верно:

• 

• 

• 

Т еорема 11.10. 

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть   и   – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем: 

или 

Скалярное произведение   таким образом, выражается через длины векторов     и   т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора   а сам вектор   лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора   будут числа   и 0, а вектора   –   и   По определению 

Рисунок 11.2.6.

Скалярное произведение двух векторов

Единичные векторы   и   имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Т еорема 11.11. 

Любой ненулевой вектор   единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде 

Доказательство

Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор   допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9   Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор   Имеем   С учетом того, что   и   ортогональны, имеем   Аналогично, умножая равенство на   получим   или   Таким образом, для любого вектора   получается разложение   Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.