Аналитическое решение задачи (4.1) в принятых ранее обозначениях может быть представлено в виде [3]
|
(4.5) |
.
Траектория
свободного движения определяется первым
слагаемым выражения (4.3). Для начальных
условий Z ( 0 ),
совпадающих с собственным вектором
оно имеет вид
|
(4.6) |
,
i = 1,2,…,
n.
Для оценки погрешности использовать соотношение
|
(4.7) |
= 
,
где
,
– соответственно значения i-й
координаты объекта в момент времени
,
полученные численным и аналитическим
методами.
В качестве критерия при выборе параметров управляющего воздействия (качества управления) b1, b2,…, bn+1 использовать минимум модуля разности между экстремальными значениями координат
|
(4.8) |
= 
.
4.3 Описание лабораторной установки
В качестве лабораторной установки используется персональная ЭВМ типа IBM PC с операционной системой Windows-95 или с более поздней ее версией. Для определения собственных значений, собственных векторов и траекторий движения рекомендуется использовать один из пакетов программ MathCAD, MatLAB или им подобный. Ресурсные требования к применяемой ЭВМ определяются требованиями к размерам необходимой памяти используемой версии пакета программ для решения вычислительных задач.
4.4 Порядок выполнения работы
Получить у преподавателя вариант задания (табл. 4.1) и дополнительные исходные данные.
Определить из уравнений (4.2) – (4.3) собственные значения и собственные векторы матрицы объекта A.
Выбрать начальное значение шага моделирования (решения задачи) h.
Провести
для начальных условий, Z(o),
совпадающих с одним из собственных
векторов
,
,…,
,
по формуле (4.4) определение траектории
свободного движения объекта методом
Рунге-Кутта с обычным h
и половинным h/2
шагом. При необходимости повторять
расчет с уменьшенным шагом до обеспечения
требуемой точности. Пример модуля для
определения траектории свободного
движения объекта в среде пакета MathCAD
приведен на рис. 4.1.
Определить траекторию свободного движения объекта по аналитическому решению (4.6).
Оценить точность численного решения по формуле (4.7).
Методом Рунге-Кутта определить траекторию движения объекта в условиях действия помехи .
Экспериментальным путем подобрать значения параметров управляющего воздействия b1, b2,…, bn+1, обеспечивающих изменение координат вектора состояний в заданных пределах , .
Сделать выводы, оформить и сдать отчет о выполненной работе. Выводы должны содержать сведения о соответствии полученных результатов теории, анализ зависимости точности (погрешности) моделирования траектории объекта от шага интегрирования системы ОДУ, вид наилучшей для заданного класса в смысле критерия (4.8) функции управления, результаты личных наблюдений, собранных в ходе выполнения экспериментов.
Результатами экспериментов являются значения векторов координат объекта Z(t) на интервале моделирования для рассматриваемых случаев движения.
Таблица 4.1 – Варианты заданий
Вари- ант |
а11 |
а12 |
а13 |
а21 |
а22 |
а23 |
а31 |
а32 |
а33 |
|
|
|
1 |
0,1 |
0 |
0 |
-0,3 |
0,2 |
0 |
0,4 |
0,5 |
-0,2 |
0.1 |
0.3 |
-0,1 |
2 |
-0,1 |
0,7 |
-0,3 |
0 |
0,4 |
-0,5 |
0 |
0 |
0,3 |
0,2 |
-0,1 |
0,2 |
3 |
0,3 |
-0,3 |
0 |
0 |
-0,3 |
0 |
0,6 |
-0,7 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
4 |
-0,3 |
0,7 |
0,3 |
0 |
0,1 |
0 |
0 |
0,6 |
0,2 |
-0,1 |
0,2 |
0,2 |
5 |
0,4 |
0 |
0 |
-0,4 |
0,2 |
-0,8 |
0,7 |
0 |
0,6 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
6 |
0,1 |
0 |
-0,5 |
0,7 |
0,2 |
-0,8 |
0 |
0 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
7 |
0,2 |
0 |
0 |
-0,5 |
0,4 |
0 |
0,7 |
0,5 |
-0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
8 |
-0,2 |
0,6 |
-0,5 |
0 |
0,6 |
0,8 |
0 |
0 |
0,2 |
0,1 |
-0,1 |
0,1 |
9 |
0,2 |
-0,3 |
0 |
0 |
-0,3 |
0 |
0,9 |
-0,7 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,3 |
10 |
0,3 |
0,7 |
-0,6 |
0 |
0,1 |
0 |
0 |
0,4 |
0,2 |
-0,2 |
0,2 |
-0,2 |
11 |
-0,4 |
0 |
0 |
-0,4 |
0,2 |
0,8 |
0,7 |
0 |
0,6 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
12 |
-0,2 |
0,3 |
-0,5 |
0 |
0,4 |
-0,6 |
0 |
0 |
0,3 |
-0,2 |
0,1 |
-0,1 |
13 |
0,2 |
0,6 |
0 |
0 |
-0,3 |
0 |
0,6 |
-0,7 |
-0,2 |
-0,3 |
0,2 |
-0,3 |
14 |
-0,3 |
0,7 |
0,5 |
0 |
0,1 |
0 |
0 |
-0,6 |
0,2 |
-0,2 |
0,1 |
-0,2 |
15 |
0,5 |
0 |
0 |
-0,4 |
0,2 |
-0,8 |
0,6 |
0 |
-0,6 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
16 |
0,1 |
0 |
0,4 |
0,7 |
0,2 |
-0,8 |
0 |
0 |
-0,3 |
-0,2 |
-0,2 |
-0,2 |
17 |
0,3 |
0 |
0 |
-0,2 |
0,2 |
0 |
0,7 |
0,5 |
-0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
18 |
-0,2 |
0,7 |
-0,3 |
0 |
0,4 |
-0,8 |
0 |
0 |
0,1 |
-0,2 |
0,2 |
-0,1 |
19 |
0,2 |
-0,3 |
0 |
0 |
0,3 |
0 |
0,6 |
-0,7 |
-0,2 |
0,2 |
-0,3 |
0,2 |
20 |
-0,3 |
0,7 |
0,5 |
0 |
0,3 |
0 |
0 |
-0,6 |
0,2 |
-0,1 |
-0,2 |
0,2 |
21 |
0,3 |
0 |
0 |
-0,2 |
0,2 |
0 |
0,7 |
0,5 |
-0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
22 |
-0,2 |
0,7 |
-0,5 |
0 |
-0,4 |
0,8 |
0 |
0 |
0,3 |
0,2 |
-0,2 |
0,1 |
23 |
0,2 |
0,3 |
0 |
0 |
-0,3 |
0 |
0,6 |
-0,7 |
-0,2 |
0,2 |
0,2 |
-0,1 |
24 |
-0,3 |
0,7 |
0,6 |
0 |
0,1 |
0 |
0 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
-0,1 |
25 |
0,5 |
0 |
0 |
-0,4 |
0,2 |
-0,8 |
-0,7 |
0 |
-0,6 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
Рисунок 4.1 – Пример модуля в среде пакета MathCAD для определения собственных векторов и траектории свободного движения объекта