Общие положения

Математическое моделирование в настоящее время является обязательной составляющей всех этапов проектирования, создания и эксплуатации технических, организационно-технических и экономических объектов. Использование моделирования позволяет существенно сократить время принятия решений, повысить их качество, спрогнозировать последствия. Наибольшее распространение при этом находит математическое и компьютерное моделирование объектов.

Лабораторный практикум ориентирован на активную индивидуальную деятельность каждого студента. Выполнение лабораторных работ направлено на приобретение студентами практических навыков построения моделей и исследования процессов функционирования объектов методами математического моделирования. Каждая работа предусматривает создание, модернизацию или детализацию предложенной модели, проведение экспериментов с машинной моделью, анализ результатов моделирования.

Практикум ориентирован на использование студентами современной технологии решения задач моделирования с применением компьютерных средств, пакетов и систем моделирования. Поэтому при подготовке к выполнению работ следует изучить особенности режимов работы и применения используемых программно-технических средств моделирования. С целью сокращения времени на оформление отчета его общие составляющие части рекомендуется выполнять в процессе подготовки к работе.

Допуск к выполнению лабораторной работы возможен после проверки подготовленности студентов по контрольным вопросам и заданиям. Чтобы избежать ошибок в процессе выполнения работы следует проводить анализ промежуточных результатов по каждому из ее этапов. По окончании экспериментов необходимо провести детальный анализ полученных результатов, создать электронный или печатный вариант отчета и защитить его во время занятия. Отчет может представляться в электронном или в печатном виде.

Перед выполнением лабораторных работ студенты должны пройти инструктаж по технике безопасности. Ее требований, как и положений инструкций по поведению студентов в лаборатории, а также принятой в университете технологии использования вычислительной техники, необходимо строго придерживаться на протяжении всего лабораторного практикума.

Методические указания созданы и оформлены на основе основных требований [1] и рекомендаций [2].

1 Построение аналитических моделей динамики объектов

1.1 Цель работы

Изучение методики построения аналитических моделей динамики простейшей одномерной системы путем ее идентификации по методу наименьших квадратов. Приобретение навыков выбора вида и параметров модели динамики объекта, экспериментальная оценка точности модели.

1.2 Указания по организации самостоятельной работы

При подготовке к выполнению лабораторной работы необходимо: ознакомиться с постановкой задачи построения математических моделей объектов методом идентификации; уяснить суть основных задач, решаемых в процессе идентификации моделей; ознакомиться с классификацией методов идентификации; изучить процедуру идентификации моделей методами наименьших квадратов, а также технологию решения перечисленных задач в среде пакета программ MathCAD. С этой целью может быть использован лекционный материал по соответствующим темам, материал, изложенный в рекомендованной литературе [3, c. 42–50; 4, с. 248–259; 5], а также материал настоящих методических указаний.

Практическая часть подготовки к выполнению работы включает создание программы для построения таблиц (графиков), отражающих модельные траектории на одном из языков высокого уровня, или в среде выбранного пакета программ, а также подготовку таблиц для занесения экспериментальных данных.

Объектом исследования является одномерная система типа "серый ящик". Задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдения над входными u(t) и выходными y(t) переменными системы необходимо построить оптимальную в смысле минимума квадратов отклонений ее математическую модель. Система находится в свободном движении, т.е. предполагается отсутствие на входе объекта сигналов, т.е. u(t) = t.

Выход модели связан с ее входом зависимостью

y_м(t) = F_м [u_м(t), q, 0], (1.1)

где F_м – оператор модели;

u_м(t) = t, y_м(t) – соответственно входной и выходной сигналы модели;

q – вектор параметров модели, q = (q₀, q₁, ..., q_m).

Сигналы на выходе системы наблюдаются в условиях отсутствия помехи в дискретные моменты времени t₁, t₂, ..., t_n и имеют значения y(t₁) = y₁, y(t₂) = y₂, ... , y(t_n) = y_n. Выбор модели осуществляется на множестве полиномов

F_м = q₀ t^m + q₁ t^m-1 + ...+ q_m, (1.2)

где m – степень полинома модели.

В качестве критерия близости использовать минимум суммы квадратов отклонений выходов модели y_м(t) от выходов системы y(t)

. (1.3)

Наилучшие значения параметров модели являются решениями системы уравнений

(1.4)

или

(1.5)

где n – количество наблюдаемых сигналов (экспериментов).