§3. Наивероятнейшее число появлений события
Рассмотрим решение задачи.
Задача.
Вероятность
попадания при однократном выстреле
Найти вероятности 0, 1, 2, 3, 4, 5 попаданий
при пяти выстрелах.
Решение:
Т.к.
,
то
– вероятность промаха при одном
выстреле. Для вычисления вероятности
воспользуемся формулой Бернулли:
Наибольшую
вероятность 0,3456 имеет событие «три
попадания при пяти выстрелах», число
называется наивероятнейшим числом
появления события.
Определение. Наивероятнейшим называют такое число появлений события А, вероятность которого наибольшая.
Наивероятнейшее
число
появлений события A
можно вычислить по формуле:
Замечание.
1.
Если
–
дробное число, то
- целая часть числа
.
2. Если – целое число, то может принимать два значения: или .
3.
Если произведение
– целое число, то
.
Задача 4. Кубик подбрасывают 100 раз. Найти наивероятнейшее число выпадений 5 очков и соответствующую этому числу вероятность.
Решение.
– вероятность
выпадения 5 очков,
– вероятность
того, что 5 очков не выпадут.
;
Вероятность того, что 5 очков выпадет ровно 16 раз, вычислим по локальной теореме Муавра-Лапласа:
Глава 4. Случайные величины
§1. Понятие случайной величины
В повседневной жизни часто приходится сталкиваться с событиями, состоящими в появлении некоторой величины (число дождливых дней в августе; время, на которое задерживается поезд; количество свободных мест в зрительном зале и т.д.). Величины, которые могут принимать в результате опыта какое-либо одно возможное значение, заслуживают особого внимания и являются предметом дальнейшего изучения.
Определение. Случайной называют переменную величину, которая может принимать в результате опыта единственное значение из множества всех возможных значений, заранее (до проведения опыта) неизвестное.
Случайные
величины обозначаются X,
Y,
Z,…,
а принимаемые ими значения
,
,…;
,
,
;…
Примеры:
1. Случайная
величина X
– число попаданий при 3-х выстрелах по
мишени. Значения случайной величины:
;
;
;
.
2.
Случайная величина Y
– температура воздуха, измеренная в
определенный день месяца. Все значения
случайной величины Y
перечислить невозможно, они принадлежат
некоторому числовому промежутку, т.о.
,
минимальное
значение температуры,
максимальное
значение температуры.
В зависимости от принимаемых значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Определение. Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные изолированные значения с определенными вероятностями.
( В дальнейшем будем говорить о дискретной случайной величине, принимающей конечное множество значений)
Примеры дискретных случайных величин (ДСВ):
1. Дискретная случайная величина X – число партий, сыгранных вничью, из 10 сыгранных партий.
2. Дискретная случайная величина Y – номер страницы книги, открытой наугад.
3. Дискретная случайная величина Z – число студентов в некоторой группе.
Определение. Непрерывной называют случайную величину, все возможные значения которой принадлежат некоторому числовому промежутку, конечному или бесконечному.
Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.
Примеры непрерывных случайных величин (НСВ):
1.
Непрерывная случайная величина X
– координата точки, наугад выбранной
на отрезке
.
2. Непрерывная случайная величина Y – рост человека.
3. Непрерывная случайная величина Z – привес домашнего животного за месяц.