- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Основные понятия теории вероятностей
- •2.1. Опыт и событие. Классификация событий
- •2.2. Операции сложения и умножения над событиями.
- •§3. Вероятность. Классическое определение вероятности Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •3.2. Геометрическая вероятность
- •3.3. Статистическая вероятность
- •Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§1. Теорема сложения вероятностей
- •§2. Теорема умножения вероятностей.
- •§3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Глава 3. Повторные независимые испытания
- •§1. Схема Бернулли. Формула Бернулли
- •Формула Бернулли
- •§2. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •§3. Наивероятнейшее число появлений события
- •Глава 4. Случайные величины
- •§1. Понятие случайной величины
- •§2. Закон распределения дискретной случайной величины Многоугольник распределения
- •§3. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •§4. Плотность распределения вероятностей случайной величины
- •§5. Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание случайной величины
- •2. Дисперсия случайной величин.
- •3. Среднее квадратическое отклонение
- •Мода случайной величины
- •Глава 5. Некоторые законы распределения случайных величин
- •§1. Биномиальное распределение
- •§2. Распределение Пуассона
- •§3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины
- •Основные задачи, связанные с нормальным распределением
- •Правило «трех сигм»
- •Индивидуальные задания для внеаудиторной работы.
- •Заключение
- •Библиографический список:
3. Среднее квадратическое отклонение
Определение. Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называют корень квадратный из ее дисперсии.
Обозначение. .
Среднее квадратическое отклонение случайной величины имеет ту же размерность, что и сама величина (в отличие от дисперсии, размерность которой представлена в квадратных единицах размерности случайной величины).
Задание. Самостоятельно вычислите средние квадратические отклонения случайных величин в задачах 9 и 10.
Мода случайной величины
Определение. Модой дискретной случайной величины называют наиболее вероятное ее значение.
Определение. Модой непрерывной случайной величины называют такое ее значение, которому соответствует наибольшая плотность вероятности.
Обозначение. .
Пример 1 . Мода дискретной случайной величины Х , заданной законом распределения,
Х |
2 |
3 |
5 |
7 |
9 |
Р |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
равна 3, т.к. .
Пример 2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей f(x), график которой изображен на рис 15.
, т.к. - max.
y=f(x)
Рис.15.
5. Медиана непрерывной случайной величины
Определение. Медианой непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого выполняется равенство:
, где – медиана непрерывной случайной величины Х.
Геометрическая иллюстрация:
, где – площади заштрихованных на рис.16 фигур.
Рис.16.
Глава 5. Некоторые законы распределения случайных величин
§1. Биномиальное распределение
Предположим, что в одинаковых условиях проводятся n независимых испытаний, в результате каждого из испытаний может появиться либо событие А с вероятностью р, либо событие, противоположное событию А ( ) с вероятностью q (q=1-p), т.е. имеет место (п,р) схема Бернулли.
Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х – число появлений события А в этих испытаниях. Составим закон распределения вероятностей величины Х. Вероятность того, что величина Х примет значение вычисляется по формуле Бернулли:
.
Определение. Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью:
, где p+q=1, 0<p<1, 0<q<1, m=0,1,2,…,n, называется распределенной по биномиальному закону, а n,p – параметры биномиального распределения.
Закон распределения вероятностей величины Х имеет вид:
1)
2)
3) ;
:
.
|
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
n |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
Функция распределения дискретной случайной величины Х:
Числовые характеристики ДСВ Х, распределенной по биномиальному закону:
математическое ожидание: ;
дисперсия: ;
среднее квадратическое отклонение: .
Задача 1. Самый правдивый человек на свете барон Мюнхаузен все же иногда любил приукрасить действительность и в одном случае из пяти подключал свою фантазию, излагая реальные факты. Составить закон распределения ДСВ Х – числа правдивых историй из трех рассказанных бароном. Найти числовые характеристики ДСВ Х.
Решение. Пусть р – вероятность того, что рассказанная история правдивая. По классическому определению вероятности:
Ряд распределения имеет вид:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,008 |
0,096 |
0,384 |
0,512 |
Проверка. .
Числовые характеристики :
Задача 2. Вероятность попадания в цель стрелком при одном выстреле равна 0,7. Сколько необходимо произвести выстрелов, чтобы можно было с уверенностью ожидать 15 попаданий?
Решение. Дискретная случайная величина Х – число попаданий по мишени, распределена по биномиальному закону ( установите это самостоятельно).
По условию р=0,7, М(Х)=15.
Т.к. М(Х)=пр, то .
Необходимо произвести 22 выстрела.