2.2. Операции сложения и умножения над событиями.

1. Суммой двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Обозначение: А+В.

Замечание. Операция сложения определена и для большего числа событий.

Пример. Турист имеет возможность посетить 3 города. Обозначим события:

А – турист посетит город А;

В – турист посетит город В;

С – турист посетит город С.

Событие А+В состоит в том, что турист посетит только один из городов А или В, или он посетит их оба.

Событие А+В+С состоит в том, что турист посетит только один из городов А,В,С или пары городов А,В или А,С или В,С или он посетит все три города.

Геометрическая иллюстрация суммы двух событий:

Рис.1.

А+В – изображена всей заштрихованной областью.

2. Произведением двух событий называют событие, состоящее в одновременном их появлении.

Обозначение: или АВ.

Пример. Рассмотрим события:

А – из колоды карт вытянули «даму»;

В – из колоды карт вытянули карту пиковой масти.

Событие АВ – из колоды карт вытянули «даму» пиковой масти.

Геометрическая иллюстрация произведения двух событий:

Рис.2.

АВ – выделенная область (обведена жирной линией).

Замечание. Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий.

Пример. Рассмотрим события:

А – попадание по мишени при первом выстреле;

В – попадание по мишени при втором выстреле;

С – попадание по мишени при третьем выстреле.

Событие АВС – три попадания по мишени при трех выстрелах.

Используя операции сложения и умножения, можно сложное событие разложить на более простые и наоборот.

Пример. Рассмотрим события:

А – попадание по мишени при первом выстреле;

В – попадание по мишени при втором выстреле;

С – попадание по мишени при третьем выстреле.

События, противоположные А, В, С:

– промах при первом выстреле; – промах при втором выстреле; – промах при третьем выстреле.

Событие D – ровно одно попадание при трех выстрелах можно записать с помощью операций сложения и умножения над событиями А, В, С:

D= , где – попадание только при первом выстреле,

– попадание только при втором выстреле, - попадание только при третьем выстреле.

Событие E – ровно два попадания при трех выстрелах :

E = , где – попадание при первом и втором выстрелах, – попадание при первом и третьем выстрелах, – попадание при втором и третьем выстрелах.

Событие F – хотя бы одно попадание при трех выстрелах :

+ , где ABC –попадание при каждом выстреле.

§3. Вероятность. Классическое определение вероятности Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность

Вероятность – числовая характеристика возможностей появления случайного события в определенных условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз.

Вероятность обозначают буквой P (по первой букве латинского слова probabilitas – вероятность).

В XVIII веке сложилось понятие классической вероятности.

3.1. Классическое определение вероятности

Определение. Вероятностью события называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу n всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта.

Обозначение: – вероятность события ,

.

Задача 1. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретен один билет. Какова вероятность того, что этот билет:

а) выигрышный;

б) невыигрышный.

Решение. а) Событие A – “приобретен выигрышный билет”. Общее число исходов n=1000, число исходов, благоприятных для события A: m=20, тогда

.

б) Событие B – “приобретен невыигрышный билет”. Общее число исходов n=1000, число исходов, благоприятных для события B: m=1000-20=980 (число невыигрышных билетов), тогда

.

Задача 2. Брошены 2 монеты. Какова вероятность того, что появятся:

а) два орла;

б) орел и решка?

Решение. Составим таблицу вариантов, позволяющих определить все возможные исходы в результате подбрасывания двух монет. В таблице появление орла обозначено буквой О, а появление решки – буквой Р.

1 монета 2 монета	О	Р
О	ОО	РО
Р	ОР	РР

Из таблицы видно, что общее число исходов n при подбрасывании двух монет равно 4 (ОО, РО, ОР, РР), т.е. n=4.

1. Событие A – появление 2-х орлов. Событию A благоприятствует только 1 исход (ОО), т.е. m=1, тогда ;

2. Событие B – появление орла и решки. Событию B благоприятствуют 2 исхода (РО, ОР), т.е. m=2, тогда .

Задача 3. В группе 20 студентов, из них 9 юношей. Два человека из группы получают индивидуальное задание по некоторому предмету. Какова вероятность того, что это задание выдали двум девушкам?

Решение. Пусть A – событие, вероятность которого нужно найти, .

n – число всех исходов испытания состоит в отборе 2-х студентов из 20. В этой выборке важен только состав, порядок роли не играет; следовательно, по формуле подсчета числа сочетаний имеем

m – число благоприятствующих исходов. Для нахождения m следует определить число способов выбора 2 девушек из 11 имеющихся (20-9=11). Для выборки важен только состав. По формуле подсчета числа сочетаний имеем:

По определению вероятности:

Классическая вероятность имеет ограниченную область применения. Применяя классическое определение вероятности, предполагается выполнение условий:

1. число всех элементарных исходов конечно;

2) все элементарные исходы равновозможны.

На практике часто встречаются опыты, для которых множество исходов бесконечно или эти исходы не являются равновозможными. Возникает необходимость введения других определений вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность).