3.2. Геометрическая вероятность
(применяется в случае бесконечного числа возможных исходов)
Пусть на плоскости имеется некоторая фигура F, которая содержит фигуру f. На фигуру F наугад бросается точка (ее размерами можно пренебречь), которая может попасть в любую точку фигуры F. Т.о., в результате бросания точки возможно бесконечное множество исходов. Все исходы можно считать равновозможными. В результате точка может оказаться внутри фигуры f, а может оказаться вне фигуры f. Возникает вопрос о вероятности попадания точки, брошенной в фигуру F, в фигуру f. Очевидно связать вероятность с площадями фигур F и f (чем больше площадь фигуры f, тем больше возможность попасть брошенной точке в фигуру f). Обозначим событие A – “попадание точки в фигуру f”
,
где
,
– площади фигур f
и F,
соответственно.
Фигуры f и F – двумерные области (их мерой является площадь).
Область может быть также одномерной (длина кривой, отрезка) и трехмерной (объем некоторого тела в пространстве).
Определение. Геометрической вероятностью события называется отношение меры области (g), благоприятствующей появлению события, к мере всей области (G).
,
– мера
области, благоприятствующей появлению
события,
– мера
всей области.
Задача 4.
Д
ан
отрезок AB=12см,
,
AM=2см
(рис.3).
Н
Рис. 3
Решение. В задаче речь идет о мере длины.
MB=10см. Вероятность того, что точка X попадет на отрезок MB, равна отношению длины отрезка MB к длине отрезка AB.
Задача 5. Внутри квадрата со стороной 5см находится круг радиусом 2см (рис. 4). Случайным образом внутри квадрата отмечают точку. Какова вероятность того, что эта точка попадет в круг?
Решение. Вероятность того, что точка попадет в круг, равна отношению мер площадей круга и квадрата.
,
а – сторона квадрата, r – радиус круга
Рис.4.
3.3. Статистическая вероятность
(вычисляется в тех случаях, когда элементарные исходы
неравновозможны)
На практике – при изучении случайных явлений в естествознании, медицине, экономике, на производстве – часто встречаются испытания, до проведения которых трудно или невозможно установить равновозможность их исходов.
В этих случаях для вычисления вероятности применять классическое определение не представляется возможным. На практике используется так называемое статистическое определение вероятности. Чтобы дать это определение, предварительно введем понятие “относительная частота события”.
Определение. Относительной частотой появления события или частостью события называют отношение числа опытов, в которых это событие произошло (m), к числу всех проведенных опытов (n).
Обозначают:
– относительная
частота события
,
где
Задача 6. Новый препарат давался 1000 пациентам с одним и тем же заболеванием. По истечении курса лечения 952 пациента исцелились. Какова относительная частота исцеления в рассмотренном исследовании?
Решение. Нас интересует событие A – факт исцеления больных. Т.к. всего n=1000 пациентов, а выздоровело m=952, то относительная частота события A равна
.
При малом количестве опытов относительная частота появления события подвержена резким колебаниям, а при увеличении их числа относительная частота стабилизируется, приближаясь к некоторому постоянному числу.
Определение. Статистическая вероятность – это число, около которого колеблется относительная частота события в различных сериях большого числа испытаний.