§3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность интересующего события, которое может произойти с одним из заданных несовместных, образующих полную группу, событий.

Рассмотрим событие А, которое может произойти тогда и только тогда, когда произойдет одно из несовместных событий образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, которое из событий наступит, их называют гипотезами (или шансами).

Если установлены вероятности гипотез …, и условные вероятности события А, то есть …, , то вероятность события А вычисляется по формуле:

+ + + . (1)

Таким образом, вероятность события А, которое может наступить лишь при условии наступления одного и только одного из несовместных событий , равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

Формулу (1) называют формулой полной вероятности.

Задача 6. Магазин получил 4 партии товара. Вероятность содержания бракованной продукции в первой партии 0,015, во второй партии – 0,01, третьей – 0,02, четвертой – 0,012. Из наугад выбранной партии взяли оно изделие. Какова вероятность того, что оно бракованное?

Решение. Бракованное изделие (событие A) может быть взято из первой партии (гипотеза ), из второй партии (гипотеза ), из третьей партии (гипотеза ) или из четвертой партии (гипотеза ). Т.к. по условию задачи гипотезы , , , равновозможны, то

Условные вероятности события A при этих гипотезах по условию равны:

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события A:

Допустим, что мы имеем полную группу событий – гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны …, . Пусть в результате опыта наступило некоторое событие А. Появление события А (точнее, сведений о нем), как правило, меняет первоначальные вероятности гипотез.

Поставим задачу: каковы будут вероятности гипотез после опыта в предположении, что в результате опыта наступило событие А. Другими словами, будем находить условные вероятности …, .

По теореме умножения вероятностей имеем:

,

т.е. , следовательно,

.

Выразим по формуле полной вероятности, тогда

. Аналогично можно получить формулы для вероятностей , ,…, . Эти формулы называют формулами Байеса. В общем виде их можно записать следующим образом:

.

Задача 7. В обувную мастерскую приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта сапог равна 0,9, а туфель – 0,85. Проведена проверка качества ремонта одной наугад выбранной пары обуви. Оказалось, что эта пара отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что проверили сапоги?

Решение. Обозначим через события «ремонт сапог» и «ремонт туфель», соответственно. Тогда

.

Рассмотрим событие А – «ремонт проведен качественно». Вероятность появления события А найдем по формуле полной вероятности: + = =0,87.

Если обувь качественная, то вероятность того, что это сапоги, найдем по формулам Байеса: .