- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Основные понятия теории вероятностей
- •2.1. Опыт и событие. Классификация событий
- •2.2. Операции сложения и умножения над событиями.
- •§3. Вероятность. Классическое определение вероятности Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •3.2. Геометрическая вероятность
- •3.3. Статистическая вероятность
- •Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§1. Теорема сложения вероятностей
- •§2. Теорема умножения вероятностей.
- •§3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Глава 3. Повторные независимые испытания
- •§1. Схема Бернулли. Формула Бернулли
- •Формула Бернулли
- •§2. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •§3. Наивероятнейшее число появлений события
- •Глава 4. Случайные величины
- •§1. Понятие случайной величины
- •§2. Закон распределения дискретной случайной величины Многоугольник распределения
- •§3. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •§4. Плотность распределения вероятностей случайной величины
- •§5. Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание случайной величины
- •2. Дисперсия случайной величин.
- •3. Среднее квадратическое отклонение
- •Мода случайной величины
- •Глава 5. Некоторые законы распределения случайных величин
- •§1. Биномиальное распределение
- •§2. Распределение Пуассона
- •§3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины
- •Основные задачи, связанные с нормальным распределением
- •Правило «трех сигм»
- •Индивидуальные задания для внеаудиторной работы.
- •Заключение
- •Библиографический список:
§2. Закон распределения дискретной случайной величины Многоугольник распределения
Пусть X – некоторая дискретная случайная величина, все значения которой , ,…, такие, что каждому значению соответствует вероятность , где .
Определение. Закон распределения (ряд распределения) – соответствие, устанавливающее связь между всеми значениями случайной величины и соответствующими вероятностями .
Способы задания закона распределения дискретной случайной величины:
1. Табличный.
В первой строке таблицы перечислены все возможные значения случайной величины (обычно – в порядке возрастания), во второй – соответствующие вероятности:
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
Т.к. в результате опыта случайная величина X принимает только одно из значений , ,…, , то события, состоящие в появлении каждого из этих значений, являются несовместными и образуют полную группу событий, следовательно:
или .
2. Формулой.
(Вспомните, какие формулы для вычисления вероятности применяли ранее)
3. Графически.
На плоскости введем прямоугольную систему координат. Пара чисел на плоскости изображает точку.
Рис.7.
Определение. Ломаная, вершины которой имеют координаты , где , называется многоугольником распределения вероятностей дискретной случайной величины X (полигоном ДСВ Х) (рис.7).
Задача 1. Вероятность правильного решения задачи по теории вероятностей первым студентом – 0,7 , вторым – 0,8 . Составить закон распределения дискретной случайной величины X – число студентов, правильно решивших задачу (с первого раза). Записать ряд распределения.
Решение. Возможные значения случайной величины X: , , .
Вычислим вероятность появления каждого из значений случайной величины, используя формулы сложения и умножения вероятностей.
1. , т.е. ни один из студентов не решит задачу.
– вероятность того, что первый студент не решит задачу.
– вероятность того, что второй студент не решит задачу.
.
2. , т.е. только один студент из двух решит задачу.
3. , т.е. оба студента решат задачу.
.
По результатам составим таблицу:
Х |
0 |
1 |
2 |
Р |
0,06 |
0,38 |
0,56 |
Графически изобразим полученный ряд распределения (построим многоугольник распределения, рис.8).
Рис. 8.
§3. Функция распределения вероятностей случайной величины
Функция распределения вероятностей используется как способ задания случайной величины и как средство описания случайной величины.
Определение. Функция распределения вероятностей случайной величины X – функция , определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x, т.е.
.
называется также интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины X.
Эта формула выражает связь между двумя разделами математики: математическим анализом и теорией вероятностей, между функциями действительных переменных и случайными величинами, она дает возможность для вычисления вероятности появления случайной величины (вероятности появления события) применять аппарат математического анализа.
Геометрическая иллюстрация.
Х
х
Изобразим Х точкой на числовой оси, лежащей левее некоторой точки x. Очевидно, вероятность того, что некоторая точка будет находиться левее x, зависит от расположения точки x, т.е. является функцией аргумента x.
Замечание: Для дискретной случайной величины, которая может принимать значение , ,…, , функция распределения имеет вид
.
(эта запись означает, что суммируются вероятности всех тех значений , величина которых меньше x).
Задача.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения
|
-2 |
1 |
3 |
5 |
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
Записать функцию распределения случайной величины X, построить ее график.
Решение.
При ,
При ,
При ,
При ,
При ,
На основании полученных результатов построим график функции
И
Рис.
10.
1
0
Рис.11.
Свойства функции F(x).
1. .
2. F(x) – неубывающая функция, т.е., если , то
Из свойства 2 следует:
вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу равна разности значений функции распределения на концах этого полуинтервала . Причем, если F(x) – непрерывная функция, то (т.е. вероятность того, что НСВ X примет значение, принадлежащее полуинтервалу, интервалу, отрезку с одними и теми же концами, одинакова;
вероятность того, что НСВ примет какое-либо наперед заданное значение, равна 0, т.е. P(X=x)=0.
Если все значения СВ принадлежат (a;b), то (т.е. ).
Задача 3. Задана функция распределения вероятностей непрерывной СВ X:
Найти: 1) ; 2) .
Решение. 1) По следствию из свойства 2:
=F(1,3)-F(1)=
2) =F (2)-F (0,5)=