- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Основные понятия теории вероятностей
- •2.1. Опыт и событие. Классификация событий
- •2.2. Операции сложения и умножения над событиями.
- •§3. Вероятность. Классическое определение вероятности Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •3.2. Геометрическая вероятность
- •3.3. Статистическая вероятность
- •Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§1. Теорема сложения вероятностей
- •§2. Теорема умножения вероятностей.
- •§3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Глава 3. Повторные независимые испытания
- •§1. Схема Бернулли. Формула Бернулли
- •Формула Бернулли
- •§2. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •§3. Наивероятнейшее число появлений события
- •Глава 4. Случайные величины
- •§1. Понятие случайной величины
- •§2. Закон распределения дискретной случайной величины Многоугольник распределения
- •§3. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •§4. Плотность распределения вероятностей случайной величины
- •§5. Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание случайной величины
- •2. Дисперсия случайной величин.
- •3. Среднее квадратическое отклонение
- •Мода случайной величины
- •Глава 5. Некоторые законы распределения случайных величин
- •§1. Биномиальное распределение
- •§2. Распределение Пуассона
- •§3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины
- •Основные задачи, связанные с нормальным распределением
- •Правило «трех сигм»
- •Индивидуальные задания для внеаудиторной работы.
- •Заключение
- •Библиографический список:
§2. Основные понятия теории вероятностей
2.1. Опыт и событие. Классификация событий
Каждая наука при изучении и описании явлений окружающего мира оперирует рядом понятий, среди которых имеются основополагающие (базовые). Например, в физике – масса, скорость; в геометрии - точка, плоскость; в химии – валентность, атом и др.
В теории вероятностей основополагающими понятиями являются испытание (опыт) и событие.
Под испытанием (опытом) понимают осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее событие. Событие – возможный результат опыта.
Приведем несколько примеров опытов и событий, которые могут появиться в их результате:
Опыт |
Событие |
1. Произведен выстрел по мишени |
а) попадание по мишени; б) непопадание по мишени; |
2. Наугад называют какое-либо двузначное число. |
а) названо четное число; б) названо число, оканчивающееся на цифру 5; в) названо число, больше, чем 50; и т.д. |
События принято обозначать большими буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.
Например, А – «попадание по мишени при однократном выстреле», В – «наугад названное двузначное число», С – «названо число, оканчивающееся на цифру 5».
Рассмотрим классификацию событий.
1. По возможности наступления различают достоверные, невозможные и случайные события.
Определение1. Событие называют достоверным в данном испытании, если оно обязательно произойдет в результате испытания.
Определение 2. Событие называют невозможным в данном испытании, если заранее известно, что оно не может произойти в результате испытания.
Определение 3. Событие называют случайным в данном испытании, если оно может произойти или не произойти в результате испытания (т.е. до проведения испытания невозможно предугадать, произойдет событие или нет).
Пример. Подбрасывают игральный кубик. Рассматривают следующие события:
А – «выпало четное число очков» – случайное событие;
В – «выпало число очков, меньше 10» – достоверное событие;
С – «выпало 0 очков» - невозможное событие.
2. По совместности появления различают совместные и несовместные события.
Определение 4. События А и В называют совместными, если они могут произойти одновременно в результате одного испытания.
Определение 5. События А и В называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного испытания.
Определение 6. Два события А и (читают «А с чертой») называют противоположными, если одно из них обязательно должно произойти в данном испытании, но наступление одного исключает возможность наступления другого.
Если события противоположны, то они несовместны (обратное в общем случае неверно).
Пример. На 20 карточках написаны числа от 1 до 20. Наугад вытягивают одну карточку. Выделим события:
А – на карточке записано четное число;
В – на карточке записано нечетное число;
С – на карточке записано число больше 15;
D – на карточке записано число 12;
E – на карточке записано число, кратное 5.
F – на карточке записано число, не превосходящее 15.
Совместные события: А и С; В и Е;
Несовместные события: А и В; С и D;
Противоположные события: С и F.
(Какие еще события из выделенных также будут являться совместными, несовместными, противоположными?)
Определение 7. События называют равновозможными в одном испытании, если в этом испытании нет оснований предполагать, что одно из них может произойти предпочтительнее, чем другое.
Определение 8. Событие A называют благоприятствующим событию B, если появление события А означает также появление события В.
Определение 9. События А, В, С, … называют элементарными, если они попарно несовместны и только одно из них может наступить в результате испытания.
Пример. Производится один выстрел по мишени.
Выделим события:
А – выбито четное число очков;
В – выбито больше 4 очков;
С – выбито нечетное число очков;
– выбито i очков ( ).
Равновозможными являются события: А и С; и и т.д.
Событие благоприятствует событию В и т.д.
Замечание. Множество всех элементарных для данного опыта событий образуют полную группу событий.