§2. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
Если
вероятность p
наступления события
в каждом
испытании постоянна и близка к 0 (р<0,1),
а число n независимых
испытаний достаточно велико, причем
выполняется условие
,
где
,
то вероятность
того, что событие произойдет m
раз в п
испытаниях,
равна
. (2)
Формулу (2) называют формулой Пуассона.
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания и в теории надежности.
Теорема
(локальная теорема Муавра-Лапласа). Если
вероятность
p
наступления
события A
в каждом испытании постоянна,
(p не близка к 0), а число n независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенной формуле (тем точнее, чем больше n):
,
где
(3)
Формулу (3) называют формулой Муавра-Лапласа.
Введем
функцию
,
тогда формула (3) принимает вид
,
Функцию
называют функцией Гаусса, ее график –
кривой вероятностей (рис. 5).
Д
ля
функции
составлены таблицы значений (см.
приложение 1)
Пользуясь таблицами значений, следует учитывать следующие свойства функции :
1.
Функция
– четная, т.е.
.
2.
Если
,
то
.
Рис. 5.
Формулы
Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа
применяют тогда, когда нужно определить
вероятность появления интересующего
нас события A
ровно m
раз. В тех случаях, когда требуется
вычислить вероятность того, что в n
испытаниях событие A
появится не менее
раз, но не более
раз (т.е.
),
используют интегральную теорему
Муавра-Лапласа.
Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа).Если вероятность p события A в каждом испытании постоянна (0<p<1), то вероятность может быть вычислена по приближенной формуле (тем точнее, чем больше п):
,
где
,
или
,
где
–
функция Лапласа.
(интеграл
в элементарных функциях не берется,
составлены таблицы значения функции
(см.
приложение 2). График функции
изображен на рис. 6.
Пользуясь таблицами значений, следует учитывать следующие свойства функции :
1.
Функция
нечетная,
т.е.
.
2.
Если
(
),
то
Рис. 6.
Задача 2. На лекции по теории вероятностей присутствуют 50 студентов. Какова вероятность того, среди них есть 5 студентов, у которых день рождения в январе?
Решение.
Вероятность того, что у наугад взятого
студента день рождения в январе, равна
.
Т.к. вероятность p<0,1,
(т.е. 0<a<10),
то для вычисления вероятности интересующего
нас события воспользуемся формулой
Пуассона.
Задача 3. Партия яиц считается годной, если 80% яиц удовлетворяют нормам приемки. Какова вероятность при случайном отборе 100 яиц обнаружить:
1) 18 не удовлетворяющих нормам приемки (нестандартных) яиц;
2) от 10 до 20 нестандартных яиц.
Решение.
1)
Т.к. интересующее
нас событие состоит в том, что 18 яиц
являются нестандартными, то обозначим
p
- вероятность того, что случайно взятое
яйцо нестандартное и
,
.
2)
Т.к. необходимо найти вероятность
появления события от
до
раз, то воспользуемся интегральной
теоремой Муавра-Лапласа:
