- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Основные понятия теории вероятностей
- •2.1. Опыт и событие. Классификация событий
- •2.2. Операции сложения и умножения над событиями.
- •§3. Вероятность. Классическое определение вероятности Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •3.2. Геометрическая вероятность
- •3.3. Статистическая вероятность
- •Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§1. Теорема сложения вероятностей
- •§2. Теорема умножения вероятностей.
- •§3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Глава 3. Повторные независимые испытания
- •§1. Схема Бернулли. Формула Бернулли
- •Формула Бернулли
- •§2. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •§3. Наивероятнейшее число появлений события
- •Глава 4. Случайные величины
- •§1. Понятие случайной величины
- •§2. Закон распределения дискретной случайной величины Многоугольник распределения
- •§3. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •§4. Плотность распределения вероятностей случайной величины
- •§5. Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание случайной величины
- •2. Дисперсия случайной величин.
- •3. Среднее квадратическое отклонение
- •Мода случайной величины
- •Глава 5. Некоторые законы распределения случайных величин
- •§1. Биномиальное распределение
- •§2. Распределение Пуассона
- •§3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины
- •Основные задачи, связанные с нормальным распределением
- •Правило «трех сигм»
- •Индивидуальные задания для внеаудиторной работы.
- •Заключение
- •Библиографический список:
§4. Плотность распределения вероятностей случайной величины
Плотность распределения вероятностей (или дифференциальная функция распределения) – еще один способ задания НСВ.
Определение. Плотность распределения вероятностей (плотность вероятности ) НСВ – функция, равная первой производной интегральной функции распределения F(x): , где f(x) – плотность распределения вероятностей.
По определению производной функции ,
где – вероятность попадания НСВ в промежуток , - средняя вероятность, которая приходится на единицу длины отрезка .
Плотность вероятности аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс вдоль оси Оx или плотность тока в теории электричества.
Свойства функции f(x).
1.
Это означает, что график функции f(x) – кривая распределения, расположен в системе координат не ниже оси абсцисс.
2. Вероятность того, что НСВ X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), вычисляется по формуле:
.
Геометрически это означает: вероятность того, что НСВ примет значение, принадлежащее интервалу (a;b) равна площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x) , прямыми х=а, х=b, y=0(рис. 12).
y
y=f(x) а b x
Рис.12.
3. Функция распределения вероятностей НСВ может быть выражена через плотность вероятности по формуле
4. Несобственный интеграл от плотности вероятности НСВ с бесконечными пределами равен 1, т.е.
.
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции S, ограниченной графиком функции ,
равна 1(рис. 13).
Рис.13.
В частности, если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу , то
Задача 4. Плотность вероятности НСВ Х задана на интервале функцией . Вне этого интервала Найти:
1) параметр C;
2) вероятность попадания НСВ Х в интервал ;
3) функцию распределения вероятностей F(x).
Решение.
По условию,
1) По свойству (4):
Функция
2) По свойству (2):
3) Воспользовавшись свойством (3), определим на каждом из заданных промежутков:
если , то
если , то ;
если , то ;
Таким образом:
Графики функций и изображены на рис.14.
y=f(x)
Рис.14.
Задача 5. Задана функция распределения вероятностей некоторой НСВ X:
Найти .
Решение. По определению
Найдем производную функции на каждом из промежутков.
Т.к. , , то
§5. Числовые характеристики случайных величин
При решении ряда задач нет необходимости подробно описывать случайную величину, достаточно указать некоторые числовые параметры случайной величины, которые характеризуют отдельные существенные ее свойства и отражают их в компактной форме. Их называют числовыми характеристиками случайной величины. Назначение числовых характеристик – в сжатой форме выразить наиболее важные особенности распределения СВ.