Вопрос №1. Декартова прямоугольная и полярная с-ма коорд.

Прямоуг с-ма коорд на пл.

Две взаимноперпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную ед образ прямоуг. с-му коорд на пл. Ось Ох-ось абсцисс, ось Оу-ось ординат, точка О-начало координат. Плоскости, расположенные на осях Ох и Оу назыв. корд. плоскостями и обозн ось ХУ. Пусть М-произв т, опустим перпендик на ось Ох и Оу соотв. МА и МВ. Точке М на пл ставят в соотв-е 2 числа: абсциссу и ординату . =расстоянию от О до А взятому со знаком «+» если А лежит правее О и «-« - если левее. =расстоянию от О до В, взятому со знаком «+» если В выше О и «-« - если ниже. (рис.)

Абсцисса и ордината в точке М, наз прямоугд декартовыми коорд т М. Введение прямоуг. с-мы координат позволяет установить взаимнооднозначное соотв-е между всеми точками пл и множ-вом пар чисел, что дает при решении геом. задач применять алгебраич м-ды.

Полярная с-ма координат(П.С.К.).

П

Е

М

О

.С.К. состоит из некот т О, наз полюсом и луча ОЕ, исходящего из точки О, наз полярной осью. Кроме этого задается ед масштаба. (рис.) Пусть задана полярная с-ма координат и пусть М-произв. точка пл. Положим –это расст ОМ, -угол, на к-рый нужно повернуть полярную ось для совмещ с лучом ОМ. Полярными координатами точки М наз-ют числа  и , при этом -1-ая координата, -2-ая, называемая полярным углом. Точка М обозн , при чем (0,+), .-рав-во 1. Однако в ряде случаев прих рассматривать углы больше , а также отриц. углы, т.е. отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке. Полюсу О соотв-ет полярный радиус =0, а полярный угол не определен.

Связь между полярными и Декартовыми координатами.

Б удем предполагать, что начало прямоуг. с-мы координат нах в полюсе О, а полож. полуось абсцисс совпадает с направлением полярной оси. Пусть М имеет прямоуг. корд. и полярные . (рис.) Не сложно показать, что (1). Ф-лы (1) выражают прямоуг. корд. через полярные. Выразим полярные коорд. через прямоуг. (2). Разделим второе ур-ние на первое (3). Заметим, что ф-ла (3) определяет 2 значения полярного угла . Из этих двух значений выбираем то, при к-ром вып-тся рав-во 1.

Вопрос №2.Простейшие задачи аналитической геометрии.

Расстояние между двумя точками.

Пусть задана прямоуг. с-ма коорд. Для любых 2х точек и на пл расст выраж ф-лой:

Деление отрезков в данном отношении.

Дано: произв отрезок М₁М₂ и пусть М-произв. т этого отрезка, отличная от М₂. Число - отношение, в к-ром М делит отрезок М₁М_2. Если делит отрезок М₁М₂ в отнош. , то корд. этой точки определяются рав-вом , где -коорд. М₁, -М₂.

Площадь треугольника.

Т. Для любых точек не лежащих на одной прямой, выражается ф-лой

Вопрос №4.Угол между прямыми на плоскости.

Рассм 2 прямые , и

У глом между прямыми и наз меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми. Очевидно, что . Не сложно заметить, что . Тогда , то -это , -это  . Если прямые параллельны, тогда =0, . След-но = - условие параллельности прямых. Если прямые , то , , след-но , т.е. - условие перпендикулярности прямых.

Вопрос №3.Ур-ние прямой на плоскости

Пусть на пл задана прямоуг. с-ма координат и нек-рая линия .Ур вида связывающее переменные и наз ур линии (в заданной с-ме координат); если этому ур-нию удовлетвор коорд любой точки, лежащей на линии и не удовлетворяют координаты никакой др точки, не лежащей на линии .

Ур-ние прямой с угловым коэффициентом.

Пусть прямая, не параллельная оси Оу.

Обозначим точки пересечения с Оу точкой В, а угол между полож. направлением оси Ох и обозначим  .  наз углом наклона к Ох (и в пределах от  ). Пусть М(х,у)- произвольная точка прямой. Величину обозначают и наз угловым коэффициентом прямой. Тогда ур примет вид –ур-е прямой с угловым коэфф, в частности если =0, то =0, прямая параллельна оси Ох. с ур-нием если =0 и получаем ур-ние оси Ох.

Уравнение прямой по точке и .

Пусть данная прямая имеет угловой коэф. и проходит через точку . Искомое ур-ние прямой . Подставим коорд. точки М₁в ур-ние

Ур-ние прямой, проходящей через 2 данные точки.

Пусть искомая прямая прох через точки и . Искомое ур , где и неизвестны. Т.к. прямая прох через М₁, то , т.к. прямая прох через М₂, то . Выразим из первого ур-ния и подставим во второе

Общее ур-ние прямой.

Т. Каждая прямая на плоскости с прямоуг. с-мой корд. определяется ур-нием первой степени , где и одновременно не равны 0. определяет нек-рую прямую на плоскости.

Это ур-ние называют общим ур-нием прямой на плоскости.

Ур-ние прямой, отрезка на осях координат.

Пусть прямая пересекает Ох и Оу соотв-но в точках А и В. Применяем ф-лу ур-ния прямой по двум точкам. Координаты А(а;0) и В(0;в):

Получаем ур-ние - ур-ние прямой на отрезках координат.

Вопрос №5. Расст от т до прямой на пл и взаим распол прямых на пл.

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Т. Расст. от данной точки до данной прямой , заданной ур на пл задается ф-лой

2)Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые и заданы своими общими ур-ми

Рассм. с-му, состоящих из этих ур-ний с неизвестными и .

1 случай: , ур-ние имеет бескон множ-во решений. (прямые совпадают) и

2 случай: , , т.е. - ур-ние решений не имеет, т.к. прямые параллельны.

3 случай: , ур-ние имеет единственное реш, т.е. прямые пересек в единственной точке.

Вопрос №6.Линии второго порядка на плоскости.

Линии, ур-ния к-рых в прямоуг. с-ме координат задаются ур-нием 2-ой степени наз линиями 2-го порядка. К важнейшим линиям второго порядка относят эллипс, окружность, гиперболу, параболу.

Окружность. Эллипс.

Эллипсом наз множ-во всех точек плоскости, для каждой из к-рых сумма расст до двух данных точек, наз-мых фокусом, есть величина постоянная, большее, чем расст между фокусами.

П усть имеет корд. , Запишем расстояние . Пусть постоянная величина, фигурирующая в определении эллипса = 2а ;  

(1)- каноническое ур-ние эллипса.

Т очки пересеч эллипса с осями коордт наз вершинами эллипса, оси симметрии(Ох и Оу) –осями эллипса. Осями также наз отрезки . Отрезки и наз-ют полуосями. В нашем случае АВ, -большая полуось , -малая полуось. Эксцентриситетом наз отношения фокусного расст к длине большой оси и обозначают . т.к.  0, то 1. Фокальными радиусами точки М наз отрезки и , их длины равны. . Ур (1) можно рассм и в случае когда  . В этом случае большая полуось равны . Фокусы такого эллипса лежат на оси Оу и . В случ, когда = получаем ур , т.е. ур окр-ти.

Окружность - частный случай эллипса при равенстве полуосей. Для окружности .Канон ур-ние окр имеет вид ,