Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.

Двойной интеграл и его св-ва.

Двойным интегралом от ф-и по области наз предел ее интегральной суммы при , т.е.

Ф-я –наз подинтегральной ф-ей. –область интегрирования, также обозначается . Если предел сущ-ет, то ф-я наз интегрируемой в области . Непрерывн. ф-ии явл. интегрируемыми.

Геом. смысл . от ф-и  по области =объему цилиндра с основанием , ограниченного сверху поверхностью .

Св-ва:

если ф-и и интегрируемы в обл. , то интегрируемы в этой обл. их сумма и разность. Причем

постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

если интегрируема в обл. и обл. разбита на 2 непересек области и , тогда двойной интеграл в области .

если ф-и и интегрируемы в обл. , причем  , тогда если ф-я интегрируема в обл. , то ф-я также интегрируема в этой обл.. Причем если ф-я интегрируема в обл. , причем для из этой обл. выполн нер-во , тогда , где – площадь обл .

Вычисл двойного интеграла в прямоуг. Декартовых координатах.

При вычислении внутреннего интеграла считается постоянным. Правую часть ф-лы наз-ют повторным интегралом. =

С т-тной областью в данном направлении (направление данной оси) наз такая обл., для к-рой любая прямая параллельная этой оси и имеющая с дано обл. общие точки, пересекает границу не более 2 раз. В направлении оси Оу-область ст-тная, в направлении оси Ох-обл. ст-тной не явл.

Если обл. интегрирования не удовлетв. условиям ст-тной обл., каждая из к-рых была бы ст-тна в направлении одной из осей, необходимо разбить обл. интегрирования и вычислить двойные интегралы по каждой части отдельно.

Тройной интеграл.

Рассм. ограниченную замкнутую пространственную обл. и определенную в ней ф-ю . Аналогично строится интегральная сумма по данному объему и определяется тройной интеграл от ф-и по пространственной обл.

Св-ва тройного интеграла (обладает св-вами двойного интеграла):

предположим, что обл. явл. ст-тной в направлении оси , т.е. удовлетворяет след. условиям:

(условие ст-тной обл.)

проекция обл. на плоскость представляет собой ст-тную обл. по оси Ох или Оу.

Если ст-тная обл. ограничена сверху поверхностью , снизу - , а проекция обл. на плоскость определяется нер-вом т.е. обл. ст-тная, тогда

Замечание. Если проекция обл. на плоскость представляет собой ст-тную обл. по оси Ох и определяется нер-вом . , тогда

Замечание. Если обл. явл. ст-тной в напр-и каждой оси и ее проекции на коорд. пл-сти явл. ст-тными в направлении каждой соотв-щей оси, то пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить 6 различными способами.

Замечание. Если обл. представляет собой параллелепипед, ограниченный , тогда . Т.к. параллелепипед явл. ст-тной обл. в направлении любой из осей и его проекции также явл. ст-тными в направлении каждой из соотв. осей, то в данном интеграле пределы интегрирования можно расставить 6 способами.

Вопрос №34. Числовые и функциональные ряды.

Числовые ряды.

Числовой ряд-символ, обозначаемый

Числа наз-ют членами этого ряда.

Суммы конечного числа членов этого ряда наз-ют частичными суммами или отрезками данного ряда.

Рассм. послед-сть . Если сущ-ет , то ряд наз-ют сходящимся, число –суммой этого ряда. Если послед-сть не имеет предела, то ряд расходящийся.

Св-ва числовых рядов:

если из членов ряда отбросить первых членов, то получим ряд , к-рый наз –ным остатком. Остаток данного ряда сходится и расходится одновременно с исходным рядом. Это означает, что при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать конечное число первых членов.

(необходимый признак сходимости). Общий член сходящегося ряда , т.е. , что не явл. достаточным признаком.

если ряд сходится и его сумма = , то ряд также сходится, и его сумма =

если 2 числ ряда и сходятся, тогда ряд

Положительные ряды.

Полож. рядом наз ряд, члены к-рого неотриц.

Признак сравнения.

Пусть даны 2 «+» ряда (1) и (2) начиная с нек-рого номера вып-тся условие , тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Признак Даламбера.

Если члены «+» -ного ряда таковы, что сущ-ет предел , тогда если  -ряд сходится;  - расходится;  -нужны доп. исследования.

Интегральный признак Коши.

Пусть члены «+» ряда таковы, что , где при непрерывн., «+» и убывает, тогда исх. ряд и несобств. интеграл сходятся и расходятся одновременно.

Знакочередующиеся ряды.

Знакочеред. рядом наз ряд вида , где . Этот ряд можно записать в виде

Признак Лейбница.

Если члены знакочеред. ряда удовлетворяют условиям:

1,

2,

то знакочеред. ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость.

Ряд (1) наз абсолютно сход, если сходится ряд (2). Если же ряд (1) сх, а ряд (2) расх., то такие ряды наз условно сходящимися. и

Теорема:если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Если ряд с произвольными членами расходится, то члены данного ряда можно расставить таким образом, что ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу.

Функциональные ряды.

Ряды, членами к-рых явл. функции наз функциональным рядом.

Если вместо переменной положить , где –из обл. определения ф-и , то получим числовой ряд . Если данный ряд сходится, то наз. точкой сходимости, если числ. ряд расходится. то –точка расходимости.

Совокупность всех точек сходимости функ. ряда наз обл его сходимости.

Степенные ряды.-функциональный ряд вида , где –действит. числа, называемые коэф-тами степенного ряда.

1. если степенной ряд сходится только в т. , то его будем относить к рядам 1-го класса.

2. ряд (1) сходящийся в любой точке, будем относить к рядам 2-го рода.

3. ряд, не  к 1-му и 2-му классу относят к рядам 3-го класса.

Теорема Авеля: если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится для любого  . Если же степ. ряд (1) расходится при , то он расходится и при всех  .

След-но для каждого степенного ряда(1) третьего класса сущ-ет число , называемое радиусом сходимости, для к-рого вып-тся условия: при  ряд сходится абсолютно , при  –расходится. Промежуток наз интервалом сходимости степ. ряда. Для степ. ряда 2-го класса инт. сходимости (-). Областью сходимости степ. ряда явл. интервал, к-рому в отдельном случае добавляются один или оба конца этого интервала. Для степенного ряда 1-го класса полагают =0, 2-го класса =.

Теорема. Пусть для степенного ряда сущ-ет и оличен от 0 , тогда .

Вопрос №35. Комплексные числа.

О. Комплексное число-выраж-е вида , где и –действит. числа, а символ удовлетворяет условию .

Положим, что квадрат этого выраж-я равен -1, число наз. действит. частью, * мнимой частью, -мнимая ед. комплексного числа.

Множ-во всех комплексных чисел обознач. .

* наз. чисто мнимым. Два комплексных числа наз. равными, если равны соотв. их действ. и мнимые части.

Ч исла вида , –комплексно сопряженные и обозначаются соотв-нно и . Очевидно, что каждому комплексному числу соотв-ет единствен. т. на плоскости с коорд.

Плоскость по –комплексная. Оси Ох и Оу соотв-но действительная и мнимая. , 

Действия над комплексными числами.

Пусть даны 2 комплексных числа ,

Сумма двух компл. чисел –комплексное число . Разность:

Произведение:

Св-ва:

(коммутативность)

, ,

сущ-ет нейьральный элемент , такой, что

сущ-ет единичный элемент , такой, что ,

Для любого сущ-ет такой элемент , что

з-н ассоциативности:

-ной степенью компл. числа наз комплексное число

Деление компл. чисел:

Пр.

Лемма

Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть и даны прямоуг. и номерная с-ма координат, тогда . Тогда –тригонометрич. форма.

Переход от алгебраической формы к тригонометрич. осущ-тся по ф-ле: ,

Теорема. Пусть комплексные числа и заданы тригонометрич. формой , тогда

Следствие:

Пр.

Извлечение корня из комплексного числа

Корнем –ной степени , из компл. числа наз комплексное число , для к-рого . обознач. .

Алгебраическое ур-ние –ной степени над полем комплексных чисел имеет ровно корней – ф-ла Муавра. Корень –ной степени из комплексного числа , записанного в тригонометрической форме вычисляется по ф-ле

Вопрос №36.Дифференциальные ур-ния.

ДУ наз соотношение, связывающее независимую переменную , искомую ф. и ее производную. Если искомая ф. есть ф-я одной независимой переменной, то ДУ наз обыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в ДУ наз порядком данного ур-ния.

Общий вид ДУ –ного порядка . (1)

Ф-ия y=f(x), кот-я при подстановке в ур-е (1) обращает этоур-е в тождество, наз-ся решением этого ур-я.

ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (2) или y’=f(x,y)(3) в случае, если y’ можно выразить относительно x и y

Реш-е ур-я (3) наз-ся общим реш-ем этого ур-я.

Реш-е может получаться в неявной форме Ф(x,y,c)=0 – наз общим интегралом.

Реш-е, кот получается из общего при некотором фиксированном значении С наз частным решением. Условия, что при x=x₀ ф-ия y=y₀ наз начальным условием, кот-е позволяет из общего реш-я выделить частное.

Ур-я с разделяющимися переменными.

Ур-е вида наз ур-ем с разделяющимися переменными. Это ур-е можно записать в виде:

, домножим на :

Вычислим: